С. Берлов


Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $AB$ мен $BC$ қабырғалары тең. Үшбұрыштың ішінен $ADC$ бұрышы $ABC$ бұрышынан екі есе үлкен болатындай $D$ нүктесі алынған. $B$ нүктесінен $ADC$ бұрышына сыбайлас бұрыштың биссектриссасына дейінгі екі еселенген қашықтық $AD+DC$-ға тең екенін дәлелде. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AB=BD$; $\angle ABD=\angle DBC$ теңдігі орындалады. $BD$ диагоналінде $BK=BC$ болатындай $K$ нүктесі табылған. Сонда $\angle KAD=\angle KCD$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №3. Швамбаранияда кейбір қалалар екіжақты қонбайтың авиарейстермен байланысқан. Рейстер үш авиакомпания арасында бөлінген, мұнымен қатар, егер қандай да бір авиакомпания А және Б қалаларына қызмет көрсетсе, онда басқа компанияның ұшақтары бұл екі қаланың арасында ұшпайды. Әр қаладан үш компанияның да ұшақтары ұшатыны белгілі. Бір қаладан ұшып шығып, жол-жөнекей барлық үш компанияның рейстерін пайдаланып, және ешқандай екі қаланың ортасында екі рет болмай, қайтадан сол қалаға қайтып келуге болатының дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $B$ және $D$ бұрыштары тең, $CD=4BC$, ал $A$ бұрышының биссектрисасы $CD$ қабырғасының ортасынан өтеді. $AD/AB$ қатынасы қандай шамаға тең болуы мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. Бизнесмен Борис Михайлович, тракторист Васямен жарысқысы келді. Оның желаяқ «Лексусы» Васяның тракторынан он есе жылдам болғандықтан ол Васяға бір сағат ерте кетуге мүмкіндік берді. Васяның тракторы жоспарланған жолдың жартысын жүрген кезде тракторының рессоры құлап қалды, және соның есесіне, оның жылдамдығы бірінші жарты жолға қарағанда екі есе баяулады. Васяның рессорымен кездесу нәтижесінде Борис Михайлович көршілес қызметке 4 сағатқа тоқтады, содан кейін ол жолды алдындағыға қарағанда екі есе баяу жүрді. Нәтижесінде ол Васядан кем дегенде бір сағатқа қалып қойғанын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №6. $ABC$ үшбұрышында $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AC$ мен $AB$ ның орталары. $BM$ медианасынан, $CN$-де жатпайтын $P$ нүктесі алынған. $PC=2PN$ екені белгілі. $AP=BC$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №7. Кез келген $n > 1$ натурал саны үшін $a+b=c+d=ab-cd=4n$ болатындай $a$, $b$, $c$, $d$ натурал сандары табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. $AB=CD$ тең болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышының ішінен $PBA$ мен $PCD$ бұрыштарының қосындысы $180^\circ$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $PB+PC < AD$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №9. Егер төрт таңбалы $x$ санының әр цифрларын 1-ге үлкейту немесе кеміту арқылы (сонымен қатар 9 цифрасын тек кеміте аламыз, ал 0 цифрасын тек үлкейте аламыз) $x$-ке бөлінетін сан алсақ, сол $x$ санын қызықты деп атаймыз.
а) Қандай да бір екі қызықты сан табыңдар.
б) Қандай да бір үш қызықты сан табыңдар.
в) Қызықты төрт сан табыла ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №10. Санның өзінен және бірден өзгеше бөлгішін меншікті деп атайық. Құрама натурал $a$ санымен келесі операция жасауға болады: оның ең кіші меншікті бөлгішіне бөлеміз немесе оның ең үлкен меншікті бөлгішіне бөлінетін кез келген санды қосамыз. Егер жай сан шықса ештеңе жасай алмаймыз. Осындай операция арқылы кез келген құрама сан арқылы 2011 санын ала алмамыз деген тұжырым рас па? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №11. Қатарға әр түрлі 1000 оң сан өсу ретімен жазылған. Вася осы сандарды 500 көрші жұптарына бөліп, әр жұптағы сандардың қосындысын тапты. Ал Петя болса, әр жұптағы екі санның арасында дәл үш сан болатындай осы сандарды 500 жұпқа бөлді және ол да әр жұптағы сандардың қосындысын тапты. Петя тапқан қосындылардың көбейтіндісі Вася тапқан қосындылардың көбейтіндісінен үлкен екенін дәлелде. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №12. Бір біріне қосқанда (бір бірін жаппайтындай), қабырға саны 3-тен 100-ге дейінгі кез келген көпбұрыш ала алатындай екі көпбұрыш (көпбұрыш дөңес емес болуы мүмкін) табылады ма? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №13. $ABC$ үшбұрышының бұрыштары үшін $2 \angle A+ \angle B=\angle C$ теңдігі орындалады. Осы үшбұрыштың ішінде $A$ бұрышының биссектрисасынан $BK=BC$ болатындай $K$ нүткесі алынған. $\angle KBC=2 \angle KBA$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №14.  Шеңбер бойында 200 адам тұр. Олардың әрбірі немесе өтірікші, немесе конформист. Өтірікші әрқашан да өтірік айтады. Егер бір конформисттің жанында екі конформист тұрса, ол конформист әрқашан да шындықты айтады. Егер бір конформисттің жанында кемінде бір өтірікші тұрса, онда ол конформист шындықты да, өтірікті де айта алады. Тұрғандардың ішінде 100 адам:
«Мен өтірікшімін»,
қалған 100-і: «Мен конформистпін» -- деді.
Осы 200 адамның ішінде конформисттердің ең көп мүмкін санын табыңдар. ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №15. Өлшемі $13\times 13$ шахмат тақтасынан қарама-қарсы бұрыштағы екі шаршыны кесіп алып тастаған. Тақтаның қалған бөлігіндегі шаршылардың бірнешесі белгіленген. Тақтаның белгіленген шаршыларына, қалған белгіленген бос шаршылардың бәрі ұрылатындай саны 47-ден көп емес корольдерді қойып шығуға болатынын дәлелде. Ескерту: шахматтық король оған қабырға және диагональ бойынша орналасқан барлық көрші шаршыларды ұрады. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №16. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагональдары тең және $O$ нүктесінде қиылысады. $AOD$ бұрышының ішінен $CD \parallel BP$ және $AB \parallel CP$ болатындай $P$ нүктесі алынған. $P$ нүктесі $AOD$ бұрышының биссектриссасында жатқанын дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №17. Гандбол ойынында жеңіске 2 ұпай, тең ойынға 1 ұпай, ал жеңіліске 0 ұпай беріледі. Турнирға 14 гандбол командалары қатысып, әр команда басқа командамен бір реттен ойнаған. Турнир соңында ешқандай екі команда бірдей ұпай жинамағаны белгілі. Алғашқы үштіктегі әр команда, соңғы үштіктегі әр командаға жеңілуі мүмкін бе? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №18. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының тең $AB$ мен $CD$ қабырғаларынан $AM=KC$, $BM=KD$ болатындай сәйкесінше $K$ мен $M$ нүктелері алынған. $AM=KC$, $BM=KD$ екені белгілі болса, $AB$ мен $KM$ арасындағы бұрыш, $KM$ мен $CD$ арасындағы бұрышқа тең екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №19. Тақтада бір жолға қатар келген $n$ сан өсу ретімен жазылған. Әр санның астына сол санның өзінен кіші және 1-ден үлкен бөлгішін жазған. Жазылған бөлгіштер де өсу ретімен орналасқан, қатар келген натурал сандар тізімі болатыны белгілі. Алғашқыда жазылған сандардың әрқайсысы $\dfrac{{{n}^{k}}}{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{k}}}$ санынан үлкен екенін дәлелдеңдер, бұл жерде $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ — барлық $n$-нен кіші жай сандар. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №20. $ABC$ үшбұрышның $AC$ қабырғасында $BD=AC$ болатындай $D$ нүктесі алынған. Осы үшбұрыштың $AM$ медианасы $BD$ кесіндісін $K$ нүктесінде қияды. Егер $DK=DC$ екені белгілі болса, онда $AM+KM=AB$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №21. Дөңес $ABCDE$ бесбұрышында $BE$ түзуі $CD$ түзуіне параллель және $BE$ кесіндісі $CD$ кесіндісінен қысқа. Бесбұрыштың ішінен $ABCF$ және $AGDE$ — параллелограммдар болатындай $F$ пен $G$ нүктелері алынған. $CD=BE+FG$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов, К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №22. Кез келген екеуінің көбейтіндісі, сол екеуінің қосындысына бөлінетіндей қос-қостан өзара тең емес 2014 сан берілген. Осы сандардың ешқайсысы қос-қостан өзара тең емес алты жай сандардың көбейтіндісіне тең бола алмайтынын дәлелде. ( И. Рубанов, С. Берлов, В. Сендеров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №23. Біз натурал санды таулы деп атайық, егер оның ондық жазуындағы шетінде тұрмаған қандай-да бір цифра (оны төбе деп атайық) басқа цифрлардан үлкен, ал қалған барлық цифрлар нөлге тең емес және төбеге дейін қатаң емес түрде өспелі (яғни әр келесі цифра алдыңғысынан үлкен немесе оған тең), ал төбеден кейін қатаң емес түрде кемімелі (яғни әр келесі цифра алдыңғысынан кем немесе оған тең) болса.
Мысалға 12243 саны — таулы, ал 3456 және 1312 — таулы емес. Барлық жүзтаңбалы таулы сандардың қосындысы — құрама сан екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №24. Дөңес 101-бұрыштың диагональін басты деп атаймыз, егер оның бір жағында 50 төбе, ал екінші жағында 49 төбе жатса. Ортақ ұштары жоқ бірнеше басты диагональдар таңдап алынған. Сол диагональдардың ұзындықтарының қосындысы, қалған басты диагональдардың ұзындықтарының қосындысынан кіші екенін дәлелде. ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №25. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларының орта перпендикулярлары $CD$ және $DA$ қабырғаларын сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қиыды. Сонда $\angle APB=\angle BQC$ болып шыққан. Төртбұрыш ішінен $QX \parallel AB$ және $PX \parallel BC$ болатындай $X$ нүктесі алынған. $BX$ түзуі $AC$ диагоналін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №26. Үстелде ұзындығы 10 см болатын таяқ жатыр. Петя оны екі бөлікке бөліп пайда болған екі бөлікті де үстелге қояды. Үстелде жатқан тяқтардың біреуіне Вася да сондай операция қолданады, сосын сондай операцияны Петя да жасайды және т.с.с. кезектесе береді. Петя 18 бөлуден кейін пайда болған барлық таяқшалар 1 см-ден қысқа болғанын қалайды. Ал Вася Петяға кедергі келтіргісі келеді. Қарсыласының ісіне қарамастан, балалардың қайсысында өз мақсатына жетуіне мүмкіндігі бар? ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №27. Өлшемі $20 \times 20$ болатын шахмат тақтасына, барлық бос шаршылар ұрылатындай, 220 ат фигурасы қойылған. Бұрынғы шаршылармен қоса алғанда, пайда болған бос шаршылар да ұрылатындай, тақтадан 20 ат фигурасын алып тастауға болатынын дәлелдеңдер. Ат фигурасы «Г» әріпімен ұратынын естеріңізге саламыз (суретті қара).

( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №28. Шеңбер бойымен 2015 оң сандар жазылған. Кез келген қатар келген екі санның қосындысы олардан кейін сағат бойымен тұрған екі сандарға кері сандардың қосындысынан үлкен. Берілген барлық 2015 санның көбейтіндісі 1-ден үлкен екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №29. Егер қандай да бір натурал сан өзінің барлық натурал бөлгіштерінің қосындысынан екі есе кіші болса, ондай санды кемелді сан деп атаймыз: мысалға 6 саны кемелді, өйткені $2\cdot 6=1+2+3+6$. Кемелді натурал $n$ санының бөлгіштерінің қос-қостан барлық көбейтінділерінің қосындысы $n^2$-қа бөліне алады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №30. $CK$ — $ABC$ үшбұрышының биссектрисасы. $BC$ және $AC$ қабырғаларынан $CT=BL$ және $TL=BK$ болатындай сәйкесінше $L$ және $T$ нүктелері алынған. $LTC$ үшбұрышы алдыңғы үшбұрышқа ұқсас екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №31. Бір ауылда әрқашан да шындықты айтатын серілер мен әрқашан өтірік айтатын өтірікшілер тұрады. Саяхатшы ауылдың әр тұрғынына екі сұрақтан қойды: «Ауылда қанша сері бар?» және «Серілер саны мен өтірікшілер санының айырмасы қанша?». Ауылда кемінде бір серінің бар екенін саяхатшы біледі. Ол тұрғындардан алған жауаптар бойынша кімнің сері, ал кімнің өтірікші екенін дәл анықтай алады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №32. Натурал $k$ саны мен $2n$-таңбалы натурал $a$ саны берілген. $a$ және $ka$ сандарын жеке ленталарға жазып, әр лентаны соңынан бастап екі таңбалы сандарға қиды ($00$, $01$, $\ldots$, $09$ сандары да екі таңбалы болып саналады; егер $ka$ санының цифрлар саны тақ болса, онда оның алдына $0$ цифрын жазады). $a$ санынан алған барлық екі таңбалы сандар қатаң түрде оңнан солға қарай кемиді ($a$-ның кіші разрядынан үлкен разрядына қарай), ал $ka$ саны үшін ол қатар қатаң түрде өседі. $k \geq n$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, О. Нечаева )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №33. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіздер ($(x,y)$ — ең үлкен ортақ бөлгіш): $({{a}^{2}},{{b}^{2}})+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №34. $n\times n$ $(n > 2)$ квадратында нөлге тең емес сандар орналасқан. Әрбір сан, сол санмен бір «крестте» (яғни осы сан орналасқан баған мен жолдағы қалған $2n-2$ торларда) орналасқан барлық сандар қосындысынан $k$ есе кіші екендігі белгілі. $k$ қандай болғанда осы шарт орындалады? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №35. Дөңес $ABCD$ тіктөртбұрышында $DA$ және $CB$ сәулелері $Q$ нүктесінде, ал $BA$ және $CD$ сәулелері $P$ нүктесінде қылысады. $\angle AQB=\angle APD$ екені белгілі болды. $\angle AQB$ бұрышының биссектрисасы $AB$ және $CD$ қабырғаларын сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды, ал $\angle APD$ бұрышының биссектрисасы $AD$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $Z$ және $T$ нүктелерінде қияды. $ZQT$ және $XPY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $K$ нүктесінде қиылысады. $K$ нүктесі $AC$ диагональінде жататынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №36. Егер $2\times 2$ шаршысында 3 фишкадан артық фишка тұрмаса, $n\times n$ шаршысының торларындағы фишкалардың орналасуын сирек деп атайық. Фишкалардың сирек орналасуы қалыптасатындай, Сергей тақтаның кейбір торларына бір фишкадан қойды. Алайда, ол, егер кез-келген фишканы бос торға алмастырса, барлық фишкалардың орналасуы сирек болмай кететінін байқады. $n$-нің қандай мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №37. $n$ натурал саны берілсін. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 2010 натурал сандар бар екені белгілі. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 2014 натурал сандар бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №38. $a < b$ екі натурал сан берілсін. Қатар келе жатқан $b$ сандардың ішінен, көбейтіндісі $ab$-ға бөлінетін екі сан табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №39. 1, 2, 3, 5, 7, 9 цифралары тең кездесетіндей және тек тақ цифралардан тұратын, әрі осы санның кейбір цифраларын өшіру арқылы алынатын 20 мәнді санға бөлінетін сан бар ма (өшірілетін де, өшірілмейтін де цифралар қатар тұруы міндетті емес)? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №40. Қандай да бір натурал $a$ санын қалдықпен 1, 2, 3, $\ldots$, 1000 сандарына бөлді. Қалдықтардың ішінде 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99 қалдықтары дәл 10 реттен кездесуі мүмкін бе? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №41. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $\angle A = \angle C=100^\circ$. $AB$ және $BC$ қабырғаларынан $AX = CY$ болатындай сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген. Сонда $YD$ түзуі $ABC$ бұрышының биссектрисасына параллель болып шыққан. $AXY$ бұрышын табыңыз. ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №42. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $B$ бұрышының биссектрисасы $AD$ қабырғасының ортасы арқылы өтеді, және $\angle C = \angle A+\angle D$ теңдігі орындалады. $ACD$ бұрышын табыңыздар. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №43. Өлшемі $2n\times 2n$ болатын шаршылы тақта бар. Петя осы тақтаға ${(n+1)^2}$ фишка қойды. Мысық қолын бір рет серпігенде бір немесе көрші шаршыда тұрған (қабырға немесе төбе бойынша) екі фишканы алып тастай алады. Мысық ең аз дегенде қанша серпу арқылы Петя қойған фишкаларың барлығын кепілді түрде түсіріп тастай алады? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №44. $ABC$ үшбұрышында $BD$ медианасы салынды. $ABD$ және $ACB$ бұрыштарының биссектрисалары өзара перпендикуляр. $BAC$ бұрышының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №45. $ABCD$ тіктөртбұрышы берілсін. $DC$ сәулесінде, $BD$-ға тең $DK$ кесіндісі алынсын. $M$ нүктесі, $BK$ кесіндісінің ортасы. $BAC$ бұрышының биссектрисасы $AM$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №46. $ABC$ үшбұрышына іштейсырт сызылған шеңбер, $AB$ қабырғасымен $P$ нүктесінде жанасады, ал $AC$ және $ABC$ қабырғаларының созындыларымен сәйкесінше $Q$ және $R$ нүктелерінде жанасады. Егер $PQ$ кесіндісінің ортасы $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберде жатса, $PR$ кесіндісінің ортасы да осы шеңбер бойында жататынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №47. $n$ натурал саны берілсін. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 5 натурал сандар бар екені белгілі. Ешқайсысы $n$-ге бөлінбейтін, алайда көбейтіндісі $n$-ге бөлінетін қатар келе жатқан 4 натурал сандар бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №48. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ дөңес алтыбұрышын құрайтындай, $ABC$үшбұрышына іштей сызылған шеңбермен центрлeс шеңбер, үшбұрыштың қабырғаларын алты нүктеде қияды(${{A}_{1}}$ және ${{A}_{2}}$ нүктелері $BC$ қабырғасында, ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелері $AC$ қабырғасында, ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$ нүктелері $AB$ қабырғасында жатыр). Егер ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі $B$ бұрышының биссектрисасына параллель болса, ${{A}_{2}}{{C}_{2}}$ түзуі $C$ бұрышының биссектрисасына параллель екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №49. $11\times 11$ кестесінің торларына $1$-ден $121$-ге дейінгі барлық натурал сандар жазылған. Дима әрбір жолдағы сандар көбейтіндісін есептеген, ал Саша әрбір бағандағы сандар көбейтіндісін есептеген. Олар $11$ санан тұратын бірдей жиындарды алуы мүмкін бе? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №50. $I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер болсын. $B$ және $C$ төбелері арқылы өткен шеңбер $BI$ және $CI$ кесінділерін сәйкес түрде $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $BP\cdot CQ=PI\cdot QI$ теңдігі орындалатыны белгілі. $PQI$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер берілген үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелде. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №51. Математикалық конгресті ұйымдастырушылар келген ғалымдарды қонақ үйге орналастырғанда байқағагндары: егер кез келген ғалымды біркісілік бөлмеге орналастырса, онда қалған ғалымдарды екікісілік бөлмелерге орналастырса, сонда әрбір бөлмедегі тұрғындар бір бірімен танысады. Дәлелдеу керек: конгресске қытысушы кез келген ғалым графтар теориясы бойынша дөңгелек үстел ұйымдастыра алады, ал оған оның өзінен басқа, тағыда жұп сан адам қатынаса алады және әрбір қатынасушы үстелдес екі көршісімен таныс болады. ( С. Берлов, С. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №52. $H$ нүктесі $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі. $BC$ қабырғасының бойынан $D$ нүктесі алынды. $ADPH$ параллелограмм болатындай $P$ нүктесі салынды. $\angle BPC > \angle BAC$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №53. Саша және Дима $100\times 100$ тақтасында ойын ойнап жатыр. Ойынның басында, Саша 50 тор көзін таңдап, олардың әрқайсысына бір корольдан қойып шығады. Кейін, Дима бос торлардың біреуін таңдап оған бір ладьяны қойды. Одан кейін, ойыншылар кезектесіп жүреді (Саша бастайды). Әрбір өзінің жүрісімен Саша корольдардың әрқайсысын оған қабырға бойынша немесе бұрыш бойынша көршілес орналасқан торларға ауыстырады, ал Дима әрбір өзінің жүрісімен ладьяны горизонталь немесе вертикаль бойынша кез келген торлар санына ауыстырады. Ладья корольден «секіре» алмайды жіне оны «ұра» алмайды. Саша ерте ме, кеш пе корольмен ладьяны ұра алатындай, жүрістер жасай ала ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №54. Егер $2\times 2$ шаршысында 3 фишкадан артық фишка тұрмаса, $n\times n$ шаршысының торларындағы фишкалардың орналасуын сирек деп атайық. Фишкалардың сирек орналасуы қалыптасатындай, Сергей тақтаның кейбір торларына бір фишкадан қойды. Алайда, ол, егер кез-келген фишканы бос торға алмастырса, барлық фишкалардың орналасуы сирек болмай кететінін байқады. $n$-нің қандай мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №55. $M$ нүктесі, $ABCD$ трапециясының $BC$ табанының ортасы. $AD$ табанында $P$ нүктесі алынды. $P$ нүктесі $Q$ және $D$ нүктелерінің арасында жататындай, $PM$ түзуі $CD$ түзуін $Q$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі арқылы өтетін, трапеция табандарына жүргізілген перпендикуляр, $BQ$ түзуін $K$ нүктесінде қияды. $\angle QBC=\angle KDA$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №56. Шексіз торлы жазықтықтың 100 торы $10\times 10$ шаршысын құрайды. Торлардың қабырғасы болып табылатын бірлік кесінділер бірнеше түске боялды. Кез келген шаршының, осы торлардың сызықтары арқылы өтетін шекарасында, 2-ден артық емес түске боялған кесінділер бар (Қарастырылып жатқан шаршылар, алғашқы $10\times 10$ шаршысында болуы тиісті емес). Барлығы неше түс пайдаланылуы мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №57. Шексіз торлы жазықтықта бірнеше шахмат ойынының ат фигуралары орналасқан. Ешқандай торды бір аттан артық ат саны шабуылдай алмайды. (Көп жағдайда, ат орналасқан торды басқа екі ат шабуылдай алмайды, тек бір ат қана шабуылдай алады). Саша $14\times 16$ тіктөртбұрышты контур салды. Осы тіктөртбұрышта аттардың қандай ең көп саны орналаса алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №58. $8\times 7$ картоннан жасалған торлы тіктөртбұрыштан, бірінші жолдын барлық торларынан және бірінші бағаннан тұратын бұрышты кесіп тастады (14 тордан тұратын). Шексіз торлы жазықтықтың торлары $k$ түрлі түске, картонды бұрыштың кез-келген орналасуында (айналдыру мен аударуды есептегенде) оның қамтып жатқан торлардың түстері әртүрлі болатындай боялды. $k$-ның қандай ең кіші мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №59.  Математика конгресін ұйымдастырушылардың байқағаны: егер қатысушылардың кез келген біреуін бір кісілік бөлмеге жайғастырса, онда қалғандарын екі кісілік бөлмелерге жайғастыруға болады, сонда әр бөлмедегі тұрғындар өзара таныс болады. Графтар теориясы тақырыбы бойынша, кез келген қатысушы дөңгелек үстел ұйымдастырып, оған өзінен басқа тағы жұп сан кісілер қатысының, және әрбір қатысушы үстелдес екі көршісімен таныс болатынын дәлелде. ( С. Берлов, С. Иванов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №60. $ABC$ үшбұрышының $AC$ және $BC$ қабырғаларының орталары $X$ және $Y$ нүктелері болсын, $I$ іштей сызылған шеңбер центрі, $K-$іштей сызылған шеңбердің $BC$ қабырғасын жанау нүктесі. $B$ төбесіндегі сыртқы бұрыштың биссектрисасы $XY$ түзуін $P$ нүктесінде қияды. $PKQL$ төртбұрышының ауданы берілген үшбұрышының ауданының жартысына тең болатынын дәлелде. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №61. $ABC$ үшбұрышында $BD$ медианасы салынды. $ABD$ және $ACB$ бұрыштарының биссектрисалары өзара перпендикуляр. $BAC$ бұрышының мүмкін ең үлкен мәнін табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №62. Футбол алаңында, құрамында шабуылдаушылар мен қақпашылары бар, $n$ футболшы жаттықты. Жаттығуда барлығы $k$ гол соғылды. Кез-келген соғылғын доп үшін шабуылдаушы мен қақпашының нөмірлерінің айырмасы $n-k$-дан кем емес болатындай, Фабио Капелло ойыншыларға, жаттығудан соң 1-ден $n$-ге дейінгі сандарды таратып бере алатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №63. $2\angle XBY=2\angle XDY=\angle ABC$ және $Y$ нүктесі дөңес $BXDC$ төртбұрышының ішінде жататындай, $ABCD$ ромбының ішінен $X$ және $Y$ нүктелері алынсын. $AX$ және $CY$ түзулері параллель екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №64. $\angle PAB=\angle PCB=\dfrac{1}{4}(\angle A+\angle C)$ болатындай, $ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынды. $BL$ осы үшбұрыштың биссектрисасы. $PL$ түзуі $APC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді $Q$ нүктесінде қияды. $QB$ түзуі, $AQC$ бұрышының биссектрисасы екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №65. Барон Мюнхгаузен оң коэффициенттері бар, керемет квадрат үшмүше білетінімен мақтанады:алғашқы үшмүшенің бүтін түбірі бар; егер оның барлық коэффициенттеріне бірді қосса, пайда болған үшмүшеде түбір бар болады; егер екінші рет осы үшмүшенің коэффициенттеріне бірді қосса үшмүшеде бүтін түбір болады.Барон өтірік айтып тұр ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №66. Шеңбер бойымен әрқайсысы 1, 2 немесе 3-ке тең 2010 цифралар тұр. Кез келген $k$ үшін, қатар келе жатқан $3k$ саннан тұратын блокта 1, 2, 3 сандардың әрқайсысы $k+10$ реттен артық емес кездеседі. Әрбір түрлі сандар саны бірдей болатын, қатар келе жатқан сандары бар блок бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №67. $H$ нүктесі $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының ортоцентрі. $BC$ қабырғасының ішінен $D$ нүктесі алынды. $ADPH$ параллелограм болатындай, $P$ нүктесі салынды. $\angle DCP < \angle BHP$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №68. Саша және Дима $100\times 100$ тақтасында ойын ойнап жатыр. Ойынның басында, Саша 50 тор көзін таңдап, олардың әрқайсысына бір корольдан қойып шығады. Кейін, Дима бос торлардың біреуін таңдап оған бір ладьяны қойды. Одан кейін, ойыншылар кезектесіп жүреді (Саша бастайды). Әрбір өзінің жүрісімен Саша корольдардың әрқайсысын оған қабырға бойынша немесе бұрыш бойынша көршілес орналасқан торларға ауыстырады, ал Дима әрбір өзінің жүрісімен ладьяны горизонталь немесе вертикаль бойынша кез келген торлар санына ауыстырады. Ладья корольден «секіре» алмайды және оны «ұра» алмайды. Саша ерте ме, кеш пе корольмен ладьяны ұра алатындай, жүрістер жасай ала ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №69. $BD$ диагоналі $CX$ кесіндісін, ал $AC$ диагоналі $DX$ кесіндісін тең екіге бөлетіндей, $ABCD$ іштей сызылған төртбұрыштың $AB$ қабырғасында $X$ нүктесі табылды. $\dfrac{AB}{CD}$ шамасы қандай ең кіші мән қабылдай алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №70. Гамильтоновск қаласында, әрбір көше екі алаңды қосады және әрбір алаңнан басқа алаңға көшелер арқылы жетуге болады. Губернатор, егер бір алаңнан екі рет өтпейтін, бір қозғалыс бағытындағы аймақтарды жөндеуге жауып тастаса, кез келген қалған аймақтардан басқа аймақтарға жетуге болатынын байқады. Әрбір аймақтан бір рет өтетін және басталған жерінен аяқталатын қозғалыс бағыты бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №71. Шексіз торлы жазықтықта бірнеше шахмат ойынының ат фигуралары орналасқан. Ешқандай торды бір аттан артық ат саны шабуылдай алмайды. (Көп жағдайда, ат орналасқан торды басқа екі ат шабуылдай алмайды, тек бір ат қана шабуылдай алады). Саша $14\times 16$ тіктөртбұрышты контур салды. Осы тіктөртбұрышта, аттардың қандай ең көп саны орналаса алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №72. $a < b$ екі натурал сан берілсін. Қатар келе жатқан $b$ натурал сандардың ішінен, көбейтіндісі $ab$-ға бөлінетін екі сан табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №73. $n\times (n-1)$ картоннан жасалған торлы тіктөртбұрыштан, бірінші жолдын барлық торларынан және бірінші бағаннан тұратын бұрышты кесіп тастады ($2n-2$ тордан тұратын). Шексіз торлы жазықтықтың торлары $k$ түрлі түске, картонды бұрыштың кез-келген орналасуында (айналдыру мен аударуды есептегенде) оның қамтып жатқан торлардың түстері әртүрлі болатындай боялды. $k$-ның қандай ең кіші мәнінде бұл мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №74. Өз түсі бар 25 маска бар. $k$ данышпан ойын ойнайды: алғашында оларға барлық маскалар көрсетіледі және олар өз араларында ақылдасады, кейін данышпандарға, әрқайсысы қалған данышпандардың маскаларын көре алатындай (алайда маскалар кімге кигізілгені белгісіз) және әр данышпан өзіне кигізілген масканы көре алмайтындай осы маскалар данышпандарға кигізіледі. Ешқандай әрекеттесу түрі рұқсат етілмейді. Данышпандардың барлығы бір мезгілде, әрқайсысы өз маскасының түсін анықтау үшін бір түсті атайды. $k$-ның қандай ең кіші мәнінде, кем дегенде бір данышпан өзінің маскасының түсін дұрыс атауы үшін, данышпандар алдын ала ақылдаса алады. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №75.  Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №76.  По кругу сидят 100 человек. Некоторые из них --- рыцари, всегда говорящие правду, остальные --- лжецы, которые всегда лгут. Для некоторого натурального числа $k < 100$ каждый из сидящих произнёс фразу: «Следующие $k$ людей, сидящих за мной по часовой стрелке --- лжецы». Чему могло быть равно число $k$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №77.  В Тридесятом царстве из каждого города выходит по 30 дорог, причём каждая дорога соединяет два города, не проходя через другие города. Тридесятый царь захотел разместить в некоторых городах по дорожно-эксплуатационному управлению (ДЭУ), обслуживающему все выходящие из города дороги, так, чтобы каждая дорога обслуживалась хотя бы одним управлением и управления были размещены не более чем в половине городов. Может ли так оказаться, что у царя существует ровно 2018 способов сделать это? ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №78.  На клетчатой белой доске размером $25\times25$ клеток несколько клеток окрашено в чёрный цвет, причём в каждой строке и каждом столбце окрашено ровно 9 клеток. При каком наименьшем $k$ заведомо можно перекрасить $k$ клеток в белый цвет таким образом, чтобы нельзя было вырезать чёрный квадрат $2\times2$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №79. Дөңес $ABCD$ төртбұрышының диагоналдары тең және $K$ нүктесінде қиылысады. $AKD$ және $BKC$ үшбұрыштары ішінен $\angle KAP=\angle KDP=\angle KBQ=\angle KCQ$ болатындай сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $PQ$ түзуі $AKD$ бұрышының биссектрисасына параллель екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №80.  Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $A$, стороны $BC$ — в точке $P$ и пересекает сторону $AC$ в точке $Q$. Прямая, симметричная $PQ$ относительно $AC$, пересекает прямую $AP$ в точке $X$. Докажите, что $PC=CX$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №81.  На столе лежат 99 одинаковых с виду шаров, 50 из них — медные, и 49 — цинковые. Лаборант пронумеровал шары. За одну проверку на спектрометре можно выяснить, сделаны ли положенные в него два шара одного и того же металла. Но результаты выдаются только на следующий день. За какое минимальное число проверок можно узнать, из какого металла сделал каждый шар, если надо все проверки провести сегодня? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №82. 40 гір бар. Кез-келген екі гірдің салмақтарының айырмашылығы 45 кг-нан аспайды. Кез келген 10 гірді келесі шарт орындалатындай бес гірден тұратын екі топқа бөлуге болады: әр топтағы гірлердің салмақтарының қосындыларының айырмашылығы 11 кг-нан аспайды. Салмақтарының айырмашылығы 1 кг-нан аспайтын екі гір табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №83. Цифрларының ішінде нөлі жоқ 1000 таңбалы сан берілген. Қалған сан, негiзi 500-ден кiшi санның натурал көрсеткiштi дарежесi ретiнде жазуға болмайтындай, осы санның соңғы бірнеше (мүмкін ешқандай) цифрларын өшіріп тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №84. Дөңес $ABSC$ төртбұрышы берілген. $BC$ диагоналында $P$ нүктесі $AP = CP > BP$ болатындай белгіленген. $Q$ нүктесі $P$ нүктесіне $BC$ кесіндісінің ортасына қарағандағы симметриялы нүкте. Ал $R$ нүктесі $Q$ нүктесіне $AC$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. Сонда $\angle SAB = \angle QAC$ және $\angle SBC = \angle BAC$ болып шыққан. $SA = SR$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №85.  Окружность $\omega$ касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ и пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Оказалось, что касательная к $\omega$ в точке $K$ симметрична прямой $AC$ относительно прямой $BK$. Чему может быть равна разность $AK-CK$, если $AB=9$ и $BC=11$? ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №86.  Андрей, Боря, Витя и Гена играют на доске $1000\times 1000$. Ходят по очереди — сначала Андрей, потом Боря, затем Витя и наконец Гена, затем снова Андрей и т.д. Каждым ходом игрок должен закрасить еще незакрашенные клетки, образующие прямоугольник $2\times 1$, $1\times 2$, $1\times 3$ или $3\times 1$. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Докажите, что какие-то трое ребят могут договориться и играть так, чтобы оставшийся заведомо проиграл. ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №87. Шеңберде 150 сұр, 151 қоңыр және 152 қызғылт нүктелері белгіленген. Ешқандай бір түсті екі нүкте көрші орналаспаған. Екі көршісі де қызғылт болатын қоңыр түсті нүкте табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №88.  Имеется 70 переключателей и 15 ламп. Каждая лампа соединена с 35 переключателями. Никакие два переключателя не соединены с одним и тем же набором ламп. Нажатие на переключатель меняет состояние всех ламп, с которыми он соединён (включённые выключает и наоборот). Изначально все лампы выключены. Докажите, что можно нажать на какие-то 19 переключателей таким образом, чтобы включилось не менее восьми ламп. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №89. Тақтаға $n$ бүтін сандар жазылған. Олардың кез-келген екеуің айырмашылығы кемінде 3-ке тең. Осы сандардың ең үлкен екеуінің квадраттарының қосындысы 500-ден кіші. Осы сандардың ең кіші екеуінің квадраттарының қосындысы да 500-ден кіші. $n$-нің қандай ең үлкен мәнінде осы шарттар орындала алады? ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №90. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $A$ бұрышының биссектрисасы $CD$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды. $DK = BC$ және $KC+AB = AD$ екені белгілі. $\angle BCD = \angle ADC$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №91. Жартышеңберде 50 нүкте орналасқан. Кез келген екі нүкте, егер олардың арасында орналасқан басқа нүктелер саны 9-дан аспаса, кесіндімен қосылған. Нүктенің дәрежесі деп сол нүктеден шыққан кесінділер санын айтамыз. Егер кесіндінің екі ұшындағы нүктелердің дәрежелерінің қосындысы тақ болса, сол кесіндіні тақ-кесінді деп атаймыз, ал кері жағдайда оны жұп-кесінді дейміз. Панда мен Аю ойын ойнайды. Ойынды Панда бастайды, әрі қарай кезекпен жүреді. Панда өз жүрісінде қандай-да бір жұп-кесіндіні өшіре алады. Аю өз жүрісінде қандай-да бір тақ-кесіндіні өшіре алады. Келесі жүрісті жасай алмаған аң ұтылады. Дұрыс ойында қай аң ұтады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №92. Бір жолда 1999 натурал сандар жазылған. Осы жолдағы әр екі көрші санның астына олардың ең үлкен ортақ бөлгішін жазып шығып, екінші жолды алған. Дәл сол сияқты, үшінші, төртінші, $\ldots$ жолдардын алған. 1000-шы жолдағы сандар қандай да бір ретпен орналасқан 1000 қатар келген сандардан тұра алады ма ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №93.  Анчурия елінде президент сайлауы өтті. Барлық сайлау учаскелеріне қазіргі президент Мирафлорес әр сайлау учаскесінде 95$\%$-дан астам дауыс жинауы тиіс деген директива жіберілді. Осы директиваны жүзеге асыру үшін барлық сайлау учаскелерінде, аймақтағы сайлаушылар санынан көп және 100-ге еселік жуық сан таңдалды. Содан кейін олар осы санның $95\%$-ын тауып, осылар Мирафлореске дауыс бергендер саны деп хаттама толтырды. Барлық сайлау учаскелерінде дауыстар санын санау біткенде, Мирафлорес $100\%$-дан астам дауыс жинағаны белгілі болды. Белгілі бір учаскеде 2020-ден аз сайлаушы болғанын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №94.  Автобуста 32 адам болған, олардың әрқайсысы немесе ер немесе әйел адам. Жолаушылардың әрқайсысы қалғандарынан дәл бір ер адамды және бір әйел адамды таниды. $N$ жолаушы бір уақытта белгілі бір жаңалықты білді. Содан кейін әр минут сайын басқа бір жолаушы жаңалықты өзінің таныстары арқылы біліп отырды. Ал егер бұл әйел адам болса, онда оның екі танысы да сол сәтте жаңалықты білетін болған. Бірнеше минуттан кейін жа-ңалықты барлық жолаушылар білген. $N$-нің қандай ең кіші мәнінде бұл жағдай болуы мүмкін? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №95.  $AH$ — теңбүйірлі $ABC$ $(AB = BC)$ үшбұрышының биіктігі. $HK$ — $AHB$ үшбұрышының биіктігі. Сонда $4HK = AB$ болып шыққан. $ABC$ бұрышының градустық өлшемі нешеге тең болуы мүмкін? Есепте тек бүтін градуспен немесе ондық бөлшекпен берілген жауаптар ғана қабылданады. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №96.  Васяда 20 гір бар. Олардың ішінде салмақтары бірдей болатын үш гір табылмайды. Вася осы гірлердің барлығын салмақтары бірдей болатын 10 үйірмеге де, 11 үйірмеге де бөле алады. Вася осы гірлердің ішінде салмақ-тар қатынасы дәл 4-ке тең екі гір таба алатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №97.  $ABCD$ трапециясында $B$ бұрышының биссектрисасы $AD$ табанын $L$ нүктесінде қияды. $M$ нүктесі — $CD$ қабырғасының ортасы. $BM$-ге параллель және $L$ арқылы өтететін түзу $AB$ қабырғасын $K$ нүктеде қияды. Сонда $BLM$ бұрышы тік болып шыққан. $BK/KA$ қатынасын табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №98.  79 оқушыдан тұратын топта әр оқушының 39 көп емес танысы бар, сонымен қатар әр ұл балада таныс қыз бар, ал әр қыз балада таныс ұл бар. Осы топта кез келген екі қыздың таныс ұлдар саны өзара тең, ал кез келген екі ұлдың таныс қыздар саны өзара тең болуы мүмкін бе? (Егер бірінші оқушы екінші оқушымен таныс болса, онда екінші оқушы да бірінші оқушымен таныс деп есептеңдер.) ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №99.  Петя мен Вася келесі ойын ойнауда. Вася бір қатарға 150 тиынды тізіп шығады: олардың кейбіреулерін «бүк»-пен жоғары қаратып, кейбіреулерін «шік»-пен жоғары қаратып қояды. Петя өз жүрісінде кез келген қатар орналасқан үш тиынды көрсете алады, содан кейін Вася өз қалауынша осы үш тиынның екеуін аударуы керек. Петя тиындардың мүмкін болғанша көбірегі «шік»-пен жоғары қарап жатқанын қалайды, ал Вася оған кедергі жасағысы келеді. $k$ санының қандай ең үлкен мәнінде, Петя Васяның жүрісіне қарамастан, кемінде $k$ тиын «шік»-пен жоғары қарайтындай етіп жасай алады? ( С. Берлов, Н. Власова )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №100.  $ABC$ үшбұрышында $CL$ — биссектриса. $CLBK$ — параллелограмм. $AK$ түзуі $CL$ кесіндісін $P$ нүктесінде қияды. $P$ нүктесі $CLBK$ параллелограммының диагоналдарынан бірдей қашықтықта орналасқан. $AK \ge CL$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №101.  Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. $AM$ және $BC$ кесінділерінде сәйкесінше $P$ және $R$ нүктелері $AP = BR$ болатындай белгіленген. $\angle ARM + \angle PBM + \angle BMR$ қосындысын есептеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №102.  Ажалсыз Кощей «Спёрбанк» банкінде шот ашты. Алғашында шотта 0 тг болды. Бірінші күні Кощей өз шотына $k$ $(k > 0)$ тг салды. Ал әрбір келесі күні алдыңғы күнге қарағанда 1 тг артық салып отырған (яғни екінші күні $k+1$ тг, үшінші күні $k+2$ тг, т.с.с. кете береді). Бірақ әрбір салымыннан кейін, мезетте есеп шоттың жалпы мөлшері екі есе азайып отырған. Кощейдің есеп шоттындағы ақша мөлшері әрқашанда бүтін сан болып отыратындай барлық $k$ сандарын табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №103.  $ABC$ үшбұрышында $AB$ және $BC$ қабырғаларында сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $CP$ және $AQ$ кесінділері $R$ нүктесінде қиылысады. $AR = CR = PR+QR$ екені белгілі. Бір бұрышы $B$ бұрышына тең болатындай, $AP,$ $CQ$ және $PQ$ кесінділерінен үшбұрыш құрауға болатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №104.  Натурал $n$ санының қандай мәнінде $n\times n$ тақтаның бірнеше клеткаларын келесі шарттар орындалатындай белгілеуге болады: әр бағанда және әр жолда белгіленген клеткалар саны жұп, ал ұзындығы бір клеткадан көп болатын әр $4n-6$ диагональдардың әрқайсысында белгіленген клеткалар саны тақ болады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №105.  Петя, Вася және Толя балық аулап келді (әрқайсысы кем дегенде бір балық аулаған). Олар өздерінің аулаған балықтарымен мақтана бастады. Петя айтты: «Мен қалғандарының әрқайсысынан кем емес балық ауладым!». Вася айтты: «Мен Петя мен Толя аулаған балық санынан кем емес балық ауладым!». Толя айтты: «Мен Вася аулаған балық санынан $25\%$ көбірек балық ауладым!». Біраз уақыттан кейін, әр бала өзінің аулаған балық санын ең көп дегенде $a$ есе асырып айтқаны белгілі болған. $a$ санының ең кіші мәні нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №106.  Натурал $n$ саны берілген. Бір операцияда жазылған санды сол санның ең кіші жай бөлгішінен кіші санға азайтса болады, немесе жазылған санды сол санның ең кіші жай бөлшегіне бөлуге болады. 2021-ден кем операция жасап жай сан алуға болмайтындай, құрама $n$ саны табылады ма? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №107.  На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №108.  В лагерь приехали 99 школьников, причём все приехавшие имеют одно и то же ненулевое количество знакомых среди остальных. Группу ребят, обладающую тем свойством, что любой из приехавших, не входящий в эту группу, знаком с кем-то из этой группы, будем называть популярной. Докажите, что из любой популярной группы, содержащей более 49 ребят, можно выбрать популярную группу, содержащую ровно 49 ребят. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №109.  На каждой стороне выпуклого 100-угольника отметили по две точки, делящие эту сторону на три равные части. После этого всё, кроме отмеченных точек, стерли. Докажите, что по отмеченным точкам можно однозначно восстановить исходный 100-угольник. ( С. Берлов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №110.  Синусы трех острых углов образуют арифметическую прогрессию, а их косинусы — геометрическую. Докажите, что все три угла равны. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №111.  Дано $n$ различных натуральных чисел. Рассмотрим все $n(n - 1)/2$ попарных сумм этих чисел. Для каждой из этих попарных сумм на доску выписали количество исходных чисел, меньших этой суммы, на которые эта сумма делится. Какое наибольшее значение может принимать сумма выписанных на доске чисел? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №112.  В деревне некоторые пары домов соединены дорогами. Жильцы домов, соединённых дорогой, называются соседями. Всегда ли в каждый из этих домов можно поселить рыцаря, который всегда говорит правду, либо лжеца, который всегда лжёт, чтобы каждый житель смог сказать фразу «среди моих соседей лжецов хотя бы вдвое больше, чем рыцарей»? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №113.  Стороны 100 одинаковых равносторонних треугольников покрашены в 150 цветов так, что в каждый цвет покрашены ровно две стороны. Если приложить два треугольника одноцветными сторонами, то полученный ромб будем называть хорошим. Петя хочет сложить из этих треугольников как можно больше хороших ромбов, причем каждый треугольник должен входить не более, чем в один ромб. Какое наибольшее количество хороших ромбов может гарантировать себе Петя независимо от способа раскраски треугольников? ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №114.  Можно ли отметить несколько клеток в таблице $9 \times 9,$ чтобы в любых двух соседних строках таблицы было отмечено не меньше 6 клеток, а в любых двух соседних столбцах — не больше 5 клеток? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №115.  Петя мен Васяның әрқайсысы тақтаға 100 әртүрлі натурал саннан жазды. Петя өзінің барлық сандарын қалдықпен Васяның сандарына бөліп шықты, сосын дәптеріне барлық 10000 қалдықты жазды. Вася өзінің барлық сандарын қалдықпен Петяның сандарына бөліп шықты, сосын дәптеріне барлық 10000 қалдықты жазды. Вася мен Петя өздерінің дәптерлеріне жазған сандар жиыны бірдей болған. Олардың бастапқы сандарының жиындары да бірдей екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №116.  1, 2, ..., 100 сандары (нөмірлері) жазылған 100 фишканы осы ретпен сағат тілінің бағыты бойынша 100-бұрыштың төбелеріне орналастырылды. Жүріс кезінде көрші төбелерде орналасқан екі фишканың орындарын ауыстыруға рұқсат етіледі, егер олардың нөмірлер айырмасы $k$-дан аспайтын болса. Осындай операциялар көмегімен, $k$ санының қандай ең кіші мәнінде, әрбір фишканы өзінің бастапқы орнына қарағанда сағат тілімен бір позицияға жылжыта аламыз? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №117.  Натуральные числа $a$, $b$ и $c$, большие 2022, таковы, что $a+b$ делится на $c-2022$, $a+c$ делится на $b-2022$, $b+c$ делится на $a-2022$. Какое наибольшее значение может принимать число $a+b+c$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №118.  В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD = CX;$ $BE = AX.$ Докажите, что $AE = CD.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №119.  Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\frac{2022\cdot 2021}{2},$ существуют такие 2022 числа, что все их $\frac{2022\cdot 2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов) ( И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №120.  За круглым столом сидели 99 человек, все разного роста. Каждый честно ответил на два вопроса:
   1. <<Вы выше, чем ваш сосед справа?>>
   2. <<Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?>>.
   Какое наибольшее количество ответов <<Да>> могло быть дано? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №121. Келесі шартты қанағаттандыратын әртүрлі төрт сан жаз (сандар бүтін болуы міндетті емес): егер $x$ саны жазылғандардың ішінде болса, онда $x-1$ немесе $6x-1$ сандарының кемінде біреуі жазылғандардың қатарында бар. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №122. Кемінде үш бөлгіші бар натурал $n$ санының барлық бөлгіштерін ($n$-ді және 1-ді қоса есептегенде) өсу ретімен жазып шыққан: $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$. Сонда $u_1 = d_2-d_1$, $u_2 = d_3-d_2$, $\ldots$, $u_{k-1} = d_k-d_{k-1}$ айырмалары үшін $u_2-u_1 = u_3-u_2 = \ldots = u_{k-1}-u_{k-2}$ теңдіктері орындалған. Осындай барлық $n$ санын табыңыздар. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №123. $BM$ — сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының медианасы. $C$ бұрышының биссектрисасы $A$ нүктесі арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзуді $X$ нүктесінде қияды. Егер $BM = MX$ болса, $BC > AC$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №124. Тақтаға 1-ден 1000-ға дейінгі натурал сандар бір реттен жазылған. Вася кез келген екі санды өшіріп, олардың орнына олардың ең үлкен ортақ бөлгішін немесе ең кіші ортақ еселігін жаза алады. Осындай 999 операциядан кейін тақтада 10-ның натурал дәрежесі болатын бір натурал сан қалған. Сол сан қандай ең үлкен мәнді қабылдай алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №125. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $N$ нүктесі $AD$ қабырғасының ортасы. $AB$ қабырғасында $CM \perp BD$ болатындай $M$ нүктесі алынған. Егер $BM > MA$, болса, $2BC+AD > 2CN$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №126. 1-ден үлкен натурал $k$ саны берілген. 1-ден үлкен және $k$ санымен өзара жай болатын $n$ саны үшін, егер $n$ санының кез келген $d$ бөлгіші ($d < n$) үшін ${d+k}$ саны $n$ санымен өзара жай болмаса, ондай $n$ санын дұрыс сан деп атаймыз. Дұрыс сандар саны шекті екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №127. $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасында $E$ нүктесі алынған. Үшбұрыштың $AL$ биссектрисасы $BE$ кесіндісін $X$ нүктесінде қияды. $AX=XE$ және $AL=BX$ екені белгілі. Үшбұрышта $\angle A:\angle B$ қатынасы нешеге тең? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №128. Шеңбер бойына 99 оң сан қойылған. Кез келген қатар келген төрт сан үшін, сағат бойымен алынған алғашқы екеуінің қосындысы қалған екеуінің көбейтіндісіне тең. Барлық 99 санның қосындысы нешеге тең болуы мүмкін? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №129. Егер екі сан бір-біріне тең немесе айырмашылығы 1-ден артық болмаса, ондай екі санды тең жуықты сан деп атаймыз. Көрші қабырғалары натурал $a$ және $b$ сандарына тең болатын торлы тіктөртбұрыш берілген. Осы тіктөртбұрыштан тор сызық бойымен кіші тіктөртбұрышы қалай кесіп алмасақ та, сол кіші тіктөртбұрыштың ауданы мен үлкен тіктөртбұрыштың ауданының жартысы тең жуықты аудандар емес} екені белгілі. ${|a-b|$ санының ең кіші мәні нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №130. Екі өзара тең емес натурал сандар жұбында оның біреуі екіншісіне бөлінсе, ондай жұпты жақсы жұп деп атаймыз. Барлық мүмкін жұптарды жазғанда, олардың арасындағы жақсы жұп саны дәл 101 болатындай, өзара әртүрлі 20 натурал сандарды табыңыз. (Әр жұп тек бір рет жазылады, демек олар қай-таланбауы керек, яғни ${(a, b)}$ және ${(b, a)}$ жұптары бірдей болып есептеледі.)
   Тапқан жауапты негіздеуді ұмытпаңыз, яғни сіз тапқан сандар неліктен дәл 101 жақсы жұпты беретінін түсіндіріңіз. Түсіндірмеміз жауаптар есепке алынбайды. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №131. Теңбүйірлі $ABC$ $(AB = BC)$ үшбұрышында $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы. $AC$ қабырғасынан $\angle ABK = \angle BKA$ болатындай $K$ нүктесі алынған. Егер $KB = KM$ болса, $2AC = 3AB$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №132. Тақтаға 100 сан жазылған. Олардың кез келген екеуінің көбейтіндісі қалған 98-інің қосындысына тең. Тақтаға жазылған барлық 100 санның қосындысы нешеге тең бола алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №133. $n$ санын 10-нан 1000-ға (10 мен 1000 есепке алғанда) дейінгі барлық натурал сандарға бөлгенде, бөліндінің мәні әртүрлі тақ жай сандар, ал қалдықтары құрама сан (әртүрлі болуы міндетті емес) болатындай, натурал $n$ саны табылады ма? 0 саны құрама сан емес екенін еске саламыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада