Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур заключительного этапа

Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM \perp BD$. Докажите, что если $BM > MA$, то $2BC+AD > 2CN$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Возьмём такую точку $K$ что $CK=BC$.И пусть $T$ это центр $AB$, $F=BK \cap CM$. Заметим что $\angle BFT<90$ т.к. $\angle MFB=90$ и $M$ находится ближе к $A$ чем $T$ $\Rightarrow$ $\angle BKA<90$ т.к. $FT \parallel KA$ $\Rightarrow$ $\angle DKA$-тупоугольный. Очевидно что медиана проведённая из тупоугольной вершины будет короче чем половина основания.То есть $DN+BC=DN+CK>NK+CK>CN$ ч.т.д

Мы точку $K$ где берём?

На $BD$,забыл написать

$K \in BD$,$AK \bot BD$.$CM \cap BD=L$.$AK \parallel ML$.По теореме Фаллеса,$BL>LK$,$\leftrightarrow$,$BC>CK$.$2KN=AD$.$BC+0,5AD=BC+KN>CK+KN>CN$.

$2BC+AD>2CN$