Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  На доске написаны натуральные числа от 1 до 1000, по одному разу каждое. Вася может стереть любые два числа и записать вместо них одно: их наибольший общий делитель или их наименьшее общее кратное. Через 999 таких операций на доске осталось одно число, равное натуральной степени десятки. Какое наибольшее значение она может принимать? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Точка $N$ — середина стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$, а точка $M$ на стороне $AB$ такова, что $CM \perp BD$. Докажите, что если $BM > MA$, то $2BC+AD > 2CN$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  Среди натуральных чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$ нет одинаковых, а разность между наибольшим и наименьшим из них меньше 1000. При каком наибольшем $k$ может случиться, что все квадратные уравнения $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2} = 0$, где $1 \le i \le k-2$, не имеют корней? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5)

---

Задача №4.  В $2n$ бочках налито $2n$ различных реактивов (в каждой — один реактив). Они разбиваются на $n$ пар конфликтующих реактивов, но неизвестно, какая бочка конфликтует с какой. Инженеру нужно узнать это разбиение. У него есть $n$ пустых пробирок. За одно действие он может долить в любую пробирку (пустую или непустую) реактив из любой бочки, других действий с реактивами он делать не может. Пока в пробирке нет конфликтующих соединений, в ней ничего не происходит. Как только среди реактивов, содержащихся в ней, появляются конфликтующие, она лопается, и больше её использовать не получится. Выливать из пробирки ничего нельзя. Как инженеру добиться своей цели? ( А. Матвеев, П. Мяктинов )
комментарий/решение(17)

---