Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1. На доске написаны натуральные числа от 1 до 1000, по одному разу каждое. Вася может стереть любые два числа и записать вместо них одно: их наибольший общий делитель или их наименьшее общее кратное. Через 999 таких операций на доске осталось одно число, равное натуральной степени десятки. Какое наибольшее значение она может принимать? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Точка

$N$ — середина стороны

$AD$ выпуклого четырёхугольника

$ABCD$ , а точка

$M$ на стороне

$AB$ такова, что

$CM \perp BD$ . Докажите, что если

$BM > MA$ , то

$2BC+AD > 2CN$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

Задача №3. Среди натуральных чисел

$a_1$ ,

$\ldots$ ,

$a_k$ нет одинаковых, а разность между наибольшим и наименьшим из них меньше 1000. При каком наибольшем

$k$ может случиться, что все квадратные уравнения

$a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2} = 0$ , где

$1 \le i \le k-2$ , не имеют корней? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5)

Задача №4. В

$2n$ бочках налито

$2n$ различных реактивов (в каждой — один реактив). Они разбиваются на

$n$ пар конфликтующих реактивов, но неизвестно, какая бочка конфликтует с какой. Инженеру нужно узнать это разбиение. У него есть

$n$ пустых пробирок. За одно действие он может долить в любую пробирку (пустую или непустую) реактив из любой бочки, других действий с реактивами он делать не может. Пока в пробирке нет конфликтующих соединений, в ней ничего не происходит. Как только среди реактивов, содержащихся в ней, появляются конфликтующие, она лопается, и больше её использовать не получится. Выливать из пробирки ничего нельзя. Как инженеру добиться своей цели? ( А. Матвеев, П. Мяктинов )
комментарий/решение(17)

результаты