Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур заключительного этапа

Есеп №1. Тақтаға 1-ден 1000-ға дейінгі натурал сандар бір реттен жазылған. Вася кез келген екі санды өшіріп, олардың орнына олардың ең үлкен ортақ бөлгішін немесе ең кіші ортақ еселігін жаза алады. Осындай 999 операциядан кейін тақтада 10-ның натурал дәрежесі болатын бір натурал сан қалған. Сол сан қандай ең үлкен мәнді қабылдай алады? ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $N$ нүктесі $AD$ қабырғасының ортасы. $AB$ қабырғасында $CM \perp BD$ болатындай $M$ нүктесі алынған. Егер $BM > MA$, болса, $2BC+AD > 2CN$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(4)

---

Есеп №3. $a_1$, $\ldots$, $a_k$ натурал сандарының арасында екі тең сан жоқ, ал ең үлкені мен ең кішісінің айырмашылығы 1000-нан кіші. $k$ санының қандай ең үлкен мәнінде әр $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2} = 0$ ($1 \le i \le k-2$) квадрат теңдеулерінің түбірі болмайтындай жағдай бола алады? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5)

---

Есеп №4. $2n$ бөшкеде $2n$ әртүрлі реагенттер бар (әр бөшкеде бір реагенттен). Олар бір-біріне қарама-қайшы реагенттердің $n$ жұптарына бөлінді, бірақ қай бөшке қайсымен қайшы келетіні белгісіз. Инженерге осы жұптарды анықтау керек. Инженерде $n$ бос түтік бар. Бір әрекетте ол кез келген бөшкеден реагентті кез келген (бос немесе бос емес) түтікке құя алады. Одан басқа әрекеттерді жаса алмайды. Түтікте қарама-қайшы қосылыстар болмағанша, онда ештеңе болмайды. Ал құрамындағы реагенттер арасында қайшылықты реагенттер пайда болғаннан кейін, ол жарылып кетеді де, оны (түтікті) енді пайдалану мүмкін емес. Түтікке реагенттер құйылғаннан кейін, оны артқа қайта құйып алуға болмайды. Инженер өз мақсатына қалай жете алады? ( А. Матвеев, П. Мяктинов )
комментарий/решение(17)

---