Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год

Синусы трех острых углов образуют арифметическую прогрессию, а их косинусы — геометрическую. Докажите, что все три угла равны. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

1) Обозначим острые углы как $\alpha,\beta,\gamma$. Пусть $\alpha\le\beta\le\gamma$

2) Так как синусы углов образуют арифметическую прогрессию, то можно записать ее как

$$\sin\alpha = x;\;\;\sin\beta = x+d;\;\;\sin\gamma = x+2d;\;\;$$

Здесь $d-$ разность арифметической прогрессии

3)Из основного тригонометрического тождества можно получить косинусы углов

$$\cos\alpha = \sqrt{1 - x^2};$$

$$\cos\beta = \sqrt{1 - (x + d)^2};$$

$$\cos\gamma = \sqrt{1 - (x + 2d)^2};\;\;$$

4)По условию, косинусы образуют геометрическую прогрессию. То есть,

$$\cos\beta = q\cdot\cos\alpha;\;\cos\gamma = q\cdot\cos\beta$$

Здесь $q-$ знаменатель геометрической прогрессии

5)Из (4)

$$\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha} = \dfrac{\cos\gamma}{\cos\beta}$$

6) Возведем (5) в квадрат

$$\dfrac{\cos^2\beta}{\cos^2\alpha} = \dfrac{\cos^2\gamma}{\cos^2\beta}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\dfrac{1 - (x + d)^2}{1 - x^2} = \dfrac{1 - (x + 2d)^2}{1 - (x + d)^2}$$

7)Решим уравнение относительно $d$ . Если единственным приемлимым корнем будет 0, то ясно, что все углы равны между собой

Для решения уравнения перемножим по пропорции

$$((1 - (x + d)^2))^2 = (1 - x^2)\cdot(1 - (x + 2d)^2)$$

8)Раскроем все скобки.

Левая часть (L):

$$((1 - (x + d)^2))^2 = 1 - 2\cdot(x + d)^2 + (x + d)^4$$

По биному Ньютона:

$$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

Итого

$$L = 1-x^2-4xd-2d^2+x^4+4x^3d+6x^2d^2+4xd^3+d^4$$

Правая часть (R)

$$R = (1 - x^2)\cdot(1 - (x + 2d)^2) =$$

$$=(1 - x^2)\cdot(1 - x^2-4xd-4d^2)=$$

$$=1 - x^2-4xd-4d^2-x^2+x^4+4x^3d+4x^2d^2$$

9) Приведем подобные в уравнении $L=R$, все снесем влево. Получим

$$2d^2+2x^2d^2+4xd^3+d^4 = 0$$

$$d^2(2+2x^2+4xd+d^2) = 0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\left[ \begin{array}{ccc} d^2 = 0 \rightarrow d=0 \\ 2+2x^2+4xd+d^2 = 0 \\ \end{array}\right.$$

10) Рассмотрим нижнее уравнение в совокупности (9):

$$2x^2+4xd+d^2 + 2 = 0\Rightarrow D = 16d^2 - 4\cdot 2\cdot (d^2 + 2) = 8d^2-16$$

Так как знаменатель арифметической прогрессии синусов острых углов не может превысить $1$ (так как $0\le\sin x\le1$), то $D<0$

Вещественных корней нет

То есть, корень $d=0$ - единственный, значит, все синусы равны, то есть все углы в треугольнике равны

$\textbf{Решение:}$ Пусть $0^o<\alpha\leq \beta \leq \gamma<90^o$, тогда $0<\sin{\alpha}\leq\sin{\beta}\leq \sin{\gamma}<1$ и $0<\cos{\gamma}\leq\cos{\beta}\leq \cos{\alpha}<1$. По условию имеем, что $2\sin{\beta}=\sin{\alpha}+\sin{\gamma}$ и $\cos^2{\beta}=\cos{\alpha}\cdot \cos{\gamma}$.

$$4=4\sin^2{\beta}+4\cos^2{\beta}=(2\sin{\beta})^2+4\cos^2{\beta}=(\sin{\alpha}+\sin{\gamma})^2+4\cos{\alpha}\cdot \cos{\gamma}=$$

$$=\sin^2{\gamma}+\sin^2{\alpha}+2\sin{\alpha}\sin{\gamma}+4\cos{\alpha}\cdot \cos{\gamma}\leq\sin^2{\gamma}+\sin^2{\alpha}+(\sin^2{\alpha}+\sin^2{\gamma})+2(\cos{\alpha}^2 +\cos^2{\gamma})=4$$

Следовательно, $\sin{\alpha}=\sin{\gamma}$ и $\cos{\alpha}=\cos{\gamma}$, отсюда немедленно следует, что $\alpha=\gamma$, так как $\alpha\leq \gamma<90^o$. Тогда легко понять, что $\alpha=\beta=\gamma$.(Это следует из $0^o<\alpha\leq \beta \leq \gamma<90^o$.)

легенда вернулась после годового отпуска