Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год

Задача №1. Многочлены

$F$ и

$G$ таковы, что

$F(F(x)) > F(G(x)) > G(G(x))$ для всех вещественных

$x$ . Докажите, что

$F(x) > G(x)$ для всех вещественных

$x$ . ( В. Франк )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Точка

$M$ — середина основания

$AD$ трапеции

$ABCD$ . На отрезке

$BM$ отмечена точка

$E$ . Оказалось, что

$\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$ . Докажите, что треугольник

$BCE$ — равнобедренный. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Даны положительные вещественные числа

$a_1$ ,

$\ldots$ ,

$a_k$ ,

$b_1$ ,

$\ldots$ ,

$b_k$ . Пусть

$A = \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}}$ ,

$B = \sum\limits_{i = 1}^k {{b_i}} .$ Докажите неравенство

${\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{{a_i}{b_i}}}{{{a_i}B + {b_i}A}} - 1} } \right)^2} \ge \sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{a_i^2}}{{{a_i}B + {b_i}A}}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {\frac{{b_i^2}}{{{a_i}B + {b_i}A}}} .$ ( F .Dong, J. Ge )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дано натуральное число

$n$ . Монотонный путь в квадрате

$n\times n$ — это путь из левого нижнего угла в правый верхний, который идет по линиям сетки, смещаясь каждым шагом вверх или вправо. Для каждого

$k$ ,

$0 \le k < 2n - 1$ , обозначим через

$S_k$ множество всех монотонных путей, для которых количество клеток квадрата, лежащих ниже пути, дает остаток

$k$ при делении на

$2n - 1$ . Докажите, что множества

$S_k$ имеют поровну элементов. ( M. Just, M. Schneider )
комментарий/решение(3)

Задача №5. Синусы трех острых углов образуют арифметическую прогрессию, а их косинусы — геометрическую. Докажите, что все три угла равны. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)

Задача №6. На доске

$n \times n$

$(n > 1)$ отмечено

$k$ клеток. Требуется переставить строки и столбцы так, чтобы все отмеченные клетки оказались не ниже главной диагонали. При каком наибольшем

$k$ это гарантированно возможно? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)

Задача №7. Дан остроугольный треугольник

$ABC,$

$AC \ne BC.$ Высоты, проведенные из вершин

$A$ и

$B,$ пересекаются в точке

$H$ и пересекают биссектрису внешнего угла

$C$ в точках

$Y$ и

$X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла

$AHB$ пересекает отрезки

$AX$ и

$BY$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Докажите, что если

$P X = QY,$ то

$AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение(4)

Задача №8. В последовательности квадратных трёхчленов

$P_n$ каждый трёхчлен, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Первые два трехчлена не имеют общих корней. Может ли случиться, что при каждом

$n$ у

$P_n$ есть целый корень? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)