қазақша
русскийА. Голованов
Задача №1. Существуют ли такие различные натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a+1/a$ равно полусумме чисел $b+1/b$ и $c+1/c$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. По кругу написаны 2015 положительных чисел. Сумма любых двух рядом стоящих чисел больше суммы обратных к двум следующим за ними по часовой стрелке. Докажите, что произведение всех этих чисел больше 1. ( С. Берлов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Каждая точка плоскости с целыми координатами покрашена в белый или голубой цвет. Докажите, что можно выбрать цвет так, чтобы при каждом натуральном $n$ нашёлся треугольник площади $n$ с тремя вершинами выбранного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №4. Найдите наибольшее натуральное $n$ такое, что для любого натурального $k \le \dfrac{n}{2}$ найдутся два натуральных делителя $n$ с разностью $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. Существуют ли такие квадратные трехчлены $P$, $Q$, $R$, что для любых целых $x$ и $y$ найдется целое $z$, удовлетворяющее равенству $P(x)+Q(y)=R(z)$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6. Можно ли раскрасить все положительные действительные числа в 10 цветов так, чтобы любые два числа, десятичная запись которых отличается только в одном разряде, были разного цвета? (Десятичные записи, в которых все цифры, начиная с некоторой — девятки, не рассматриваются). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №7. Каждая из точек $G$ и $H$, лежащих по разные стороны от плоскости шестиугольника $ABCDEF$, соединена со всеми вершинами шестиугольника. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18, а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые вещественные числа так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №8. Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$ число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность $\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №9. Найдите все функции $f(x)$, заданные и непрерывные на всей вещественной прямой, для которых при любом $x$ выполняются неравенства $$f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).$$ ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10. Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1=0$, ${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n} + 1.$ Докажите, что $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №11. Простые числа $p$ и $q$ отличаются не более чем в два раза. Докажите, что найдутся такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен $p$, а у другого -- $q$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №12. Натуральные числа 1, 2, 3, $\dots$ , 100 содержатся в объединении $N$ геометрических прогрессий (не обязательно с целыми знаменателями). Докажите, что $N\geq 31$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №13. На доске были выписаны несколько рациональных чисел. Дима списал на бумажку их дробные части. Потом все числа на доске возвели в квадрат, и Дима списал на другую бумажку дробные части получившихся чисел. Оказалось, что на Диминых бумажках написаны одинаковые наборы чисел (может быть, отличающиеся порядком). Докажите, что исходные числа на доске были целыми. (Дробная часть числа $x$ — такое число $\{x\}$, $0\leq\{x\} < 1$, что $x-\{x\}$ — целое.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №14. Перед Таней и Сережей лежит куча из 2016 конфет. Таня и Сережа делают ходы по очереди, начинает Таня. При своем ходе ребенок может съесть либо одну конфету, либо, если в куче в данный момент четное число конфет, ровно половину всей кучи. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15. Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №16. Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №17. Функции $f$ и $g$ определены на множестве всех целых чисел из промежутка $[-100; 100]$ и принимают целые значения. Докажите, что для некоторого целого $k$ число решений уравнения $f(x)-g(y)=k$ нечётно. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №18. В Графландии 60 городов, каждые два из которых соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно покрасить четыре города в красный цвет, а другие четыре — в зелёный так, чтобы каждая дорога, соединяющая красный город с зелёным, была направлена от красного к зелёному. ( А. Голованов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №19. Натуральное число $q$ назовём удобным знаменателем для вещественного числа $\alpha$, если $|\alpha-{p\over q}|<{1\over 10q}$ при некотором целом $p$. Докажите, что если у двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$ множества удобных знаменателей совпадают, то $\alpha+\beta$ или $\alpha-\beta$ — целое число. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №20. Прямоугольник на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 разбит на фигурки домино (прямоугольники, состоящие из двух клеток с общей стороной). Докажите, что все вершины клеток на границе и внутри прямоугольника можно раскрасить в три цвета так, чтобы для каждых двух вершин, находящихся на расстоянии 1, выполнялось следующее условие: эти вершины разного цвета, если соединяющий их отрезок лежит на границе одной из фигурок домино, и одинакового цвета в противном случае. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №21. Первые $k$ членов $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ последовательности $(a_n)$ — различные натуральные числа, а при $n > k$ число $a_n$ — наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы нескольких (возможно, одного) из чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$. Докажите, что $a_n=2a_{n-1}$ при всех достаточно больших $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №22. Существуют ли такая последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\dots$ и такой непостоянный многочлен $P(x)$, что $a_m+a_n=P(mn)$ для любых натуральных $m$ и $n$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №23. Докажите, что при любом вещественном $\alpha > 0$ число $[\alpha n^2]$ четно для бесконечного множества натуральных $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №24. Существует ли такое натуральное $n$, что среди двухсотых цифр после запятой в десятичных записях чисел $\sqrt{n}$, $\sqrt{n+1}$, $\sqrt{n+2}$, $\dots$, $\sqrt{n+999}$ сто раз встречается 0, сто раз — единица, $\dots$, сто раз — девятка? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №25. Ожерелье состоит из 100 синих и некоторого количества красных бусин. Известно, что на любом отрезке ожерелья, содержащем 8 синих бусин, есть не менее 5 красных. Какое наименьшее количество красных бусин может быть в ожерелье? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №26. Даны три вещественных числа. Дробная часть произведения любых двух из них равна $1\over 2$. Докажите, что эти числа иррациональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №27. Можно ли расставить по кругу все составные натуральные числа, не превосходящие $10^6$, так, чтобы никакие два соседних числа не были взаимно просты? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №28. На доске записаны несколько иррациональных чисел. Известно, что для любых двух чисел $a$ и $b$, записанных на доске, хотя бы одно из чисел $a\over b+1$ и $b\over a+1$ рационально. Какое наибольшее количество чисел может быть записано? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №29. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все положительные вещественные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №30. Два многочлена сотой степени $f(x)=a_{100}x^{100}+a_{99}x^{99}+\dots+a_1x+a_0$ и $g(x)=b_{100}x^{100}+b_{99}x^{99}+\dots+b_1x+b_0$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Известно, что $a_i\ne b_i$ при всех $i=0$, 1, 2, $\dots$, 100. Может ли оказаться, что $f(x)\geq g(x)$ при всех вещественных $x$? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №31. Набором показателей натурального числа назовем неупорядоченный список показателей, с которыми простые числа входят в его разложение на простые множители. Например, числа $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5^1$ и $882=3^2\cdot 2^1\cdot 7^2$ имеют один и тот же набор показателей 1, 2, 2. Две возрастающие арифметические прогрессии $(a_n)$ и $(b_n)$ таковы, что при каждом $n$ числа $(a_n)$ и $(b_n)$ имеют одинаковые наборы показателей. Докажите, что эти прогрессии пропорциональны. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №32. На плоскости провели 100 прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, и отметили все точки их пересечения. После этого все прямые и $k$ отмеченных точек стерли. При каком наибольшем $k$ по оставшимся точкам пересечения заведомо можно восстановить исходные прямые? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №33. На столе лежит чётное число карточек, на каждой из которых написано натуральное число. Пусть $a_k$ — количество карточек, на которых написано число $k$. Оказалось, что $$a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\ldots\geq 0 $$ для каждого натурального $n$. Докажите, что карточки можно разложить по парам, в каждой из которых числа отличаются на 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №34. Четыре последовательных трехзначных числа делят с остатком соответственно на четыре последовательных двузначных числа. Какое наименьшее число разных остатков может получиться? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №35. Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №36. Докажите, что любой многочлен четвертой степени можно представить в виде $P(Q(x))+R(S(x))$, где $P$, $Q$, $R$, $S$ — квадратные трехчлены. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №37. Докажите, что для любых положительных $x$, $y$, $z$, для которых $xyz=1$, выполнено неравенство $${x^3\over x^2+y}+{y^3\over y^2+z}+{z^3\over z^2+x}\geq {3\over 2}.$$ ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №38. Четырехугольник $ABCD$ является одновременно вписанным и описанным. Вписанная окружность касается его сторон $AB$ и $CD$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к сторонам $AB$ и $CD$ в точках $A$ и $D$ соответственно, пересекаются в точке $U$, перпендикуляры к ним же в точках $X$ и $Y$ пересекаются в точке $V$, и, наконец, в точках $B$ и $C $ — в точке $W$. Докажите, что $U$, $V$, $W$ лежат на одной прямой. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №39. Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №40. Пусть $p=4k+3$ — простое число, а $m\over n$ — такая несократимая дробь, что $${1\over 0^2+1}+{1\over 1^2+1}+\dots+{1\over (p-1)^2+1}={m\over n}.$$ Докажите, что $2m-n$ делится на $p$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №41. Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №42. $P(n)$ — квадратный трехчлен с целыми коэффициентами. Для каждого натурального $n$ у числа $P(n)$ нашелся собственный делитель $d_n$ (т.е. $1 < d_n < P(n)$) так, что последовательность $(d_n)$ — возрастающая. Докажите, что либо $P(n)$ можно разложить в произведение двух линейных многочленов с целыми коэффициентами, либо значения $P(n)$ во всех натуральных точках делятся на одно и то же натуральное $m > 1$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №43. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №44. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цветы использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+{1\over b}$ и $b+{1\over a}$ разного цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №45. На отрезке натурального ряда имеется ровно 10 четвертых степеней и ровно 100 кубов. Докажите, что на этом отрезке не менее 2000 точных квадратов. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №46. На каждой клетке бесконечной шахматной доски написано наименьшее количество ходов, за которое конь может дойти от этой клетки до данной клетки $O$. Назовем клетку особой, если на ней написано число 100, а на всех соседних с ней (по стороне) клетках — 101. Сколько существует особых клеток? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №47. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №48. Множество вещественных чисел $M$ содержит больше одного элемента. Известно, что для любого $x$, лежащего в $M$, хотя бы одно из чисел $3x-2$ и $-4x+5$ также лежит в $M$. Докажите, что множество $M$ бесконечно. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №49. Три различных ненулевых числа таковы, что при любой расстановке этих чисел на места коэффициентов квадратного трехчлена этот трехчлен будет иметь целый корень. Докажите, что у всех таких трехчленов есть корень 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №50. $P(x)$ — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных сумме двух предыдущих, может быть в последовательности $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №51. Все клетки доски $20\times 20$ пусты. Миша и Саша по очереди (начинает Миша) ставят по одной фишке в свободные клетки. Игрок, после хода которого на доске нашлись четыре фишки, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов, выигрывает. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №52. Докажите, что все составные натуральные числа, не превосходящие $10^6$, можно расставить по кругу так, чтобы никакие два соседних числа не были взаимно просты. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №53. В какое наименьшее количество цветов можно покрасить все натуральные числа так, чтобы любые два натуральных числа, отличающиеся в 4 или 8 раз, были покрашены в разные цвета? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №54. Несовпадающие квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$ отличаются друг от друга перестановкой коэффициентов. Может ли оказаться, что $f(x)\geq g(x)$ при всех вещественных $x$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №55. Квадратные трехчлены $f$, $g$ и $h$ таковы, что при каждом вещественном $x$ числа $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ являются длинами сторон некоторого треугольника, а числа $f(x)-1$, $g(x)-1$ и $h(x)-1$ не являются длинами сторон треугольника. Докажите, что хотя бы из многочленов $f+g-h$, $f+h-g$, $g+h-f$ постоянен. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №56. Назовем натуральное число хорошим, если сумма обратных величин всех его натуральных делителей — целая. Докажите, что если $m$ — хорошее число, а $p > m$ — простое, то число $pm$ не является хорошим. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №57. Дано натуральное число $c$. Последовательность $\{p_k\}$ строится по следующему правилу: $p_1$ — произвольное простое число, а при $k\geq 1$ число $p_{k+1}$ — любой простой делитель числа $p_k+c$, не встречающийся среди чисел $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$. Докажите, что последовательность $\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №58. Существует ли квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, все значения которого в натуральных точках — натуральные степени двойки? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №59. Каждая из точек $G$ и $H$ соединена непересекающимися отрезками со всеми вершинами шестиугольника $ABCDEF$. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3, $\dots$, 18, а в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ — некоторые числа (не обязательно целые) так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №60. К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №61. Многочлен $P(x,y)$ с вещественными коэффициентами таков, что $P(x+2y, x+y)=P(x,y)$. Докажите, что для некоторого многочлена $Q(t)$ имеет место равенство $P(x,y)=Q\left((x^2-2y^2)^2\right)$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №62. Дан параллелограмм $ABCD$. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $L$, а продолжения стороны $BC$ — в точке $K$. Прямая $DK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $X$; прямая $BX$ пересекает медиану $CC_1$ треугольника $ABC$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $YL$, медиана $BB_1$ треугольника $ABC$ и его же биссектриса $CC'$ пересекаются в одной точке. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №63. Существует ли возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такая, что среди разностей $a_{n+1}-a_n$ встречаются все натуральные числа ровно по одному разу, а среди разностей {$a_{n+2}-a_n$} встречаются только натуральные числа, большие 2015, причем тоже ровно по одному разу? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №64. К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №65. Докажите, что существует натуральное $n$ такое, что в десятичной записи каждого из чисел $\sqrt{n}$, $\root 3\of n$, $\root 4\of n$, $\dots$, $\root {10}\of n$ сразу после запятой стоят цифры 2015$\dots$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №66. Дано 100 различных вещественных чисел. Докажите, что их можно расставить в клетках таблицы $10\times 10$ так, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, разность не была равна 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №67. Для двух квадратных трёхчленов $P(x)$ и $Q(x)$ нашлась такая линейная функция $\ell(x)$, что $P(x)=Q(\ell(x))$ при всех вещественных $x$. Сколько может быть таких линейных функций $\ell(x)$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №68. Даны три различных простых числа. На какое наибольшее количество из них может делиться их сумма? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №69. Решите уравнение $p^2-pq-q^3=1$ в простых числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №70. Решите уравнение ${1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}$ в натуральных числах. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №71. Вершины правильного 2012-угольника обозначены буквами $A_1$, $A_2$, $\dots$ $A_{2012}$ в некотором порядке. Известно, что если $k+l$ и $m+n$ дают одинаковые остатки при делении на 2012, то хорды $A_kA_l$ и $A_mA_n$ не имеют общих точек. Вася идет вокруг многоугольника, и видит, что первые две вершины обозначены $A_1$ и $A_4$. Как обозначена десятая по ходу вершина? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №72. Пусть $p=1601$ (простое число), а $m\over n$ — несократимая дробь, равная сумме тех из дробей $${1\over 0^2+1},\quad{1\over 1^2+1},\quad\dots,\quad{1\over (p-1)^2+1},$$ знаменатели которых не делятся на $p$. Докажите, что $2m+n$ делится на $p$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №73. Таня и Серёжа по очереди ставят фишки на свободные клетки шахматной доски. Первым ходом Таня ставит фишку на любую клетку доски. Каждым следующим ходом Серёжа должен ставить фишку в тот столбец, куда только что походила Таня, а Таня — в ту строку, куда только что походил Серёжа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №74. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так, чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова). ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №75. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цвета использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+b$ и $ab$ покрашены в разные цвета. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №76. Докажите, что среди 100000 последовательных стозначных чисел найдется $n$, такое что длина периода десятичной записи числа ${1\over n}$ больше 2011. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №77. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №78. Квадратный трехчлен $P(x)$, имеющий два вещественных корня, для всех $x$ удовлетворяет неравенству $P(x^3+x)\geq P(x^2+1)$. Найдите сумму корней трехчлена $P(x)$. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №79. Последовательность натуральных чисел строится по следующему правилу: каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением произведения всех его различных простых делителей (например, после числа 12 должно идти число 18, а после числа 125 — число 130). Докажите, что любые две последовательности, построенные таким образом, имеют общий член. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №80. На доске выписаны в ряд все натуральные числа от 1 до 2018: 1, 2, 3, $\ldots$, 2018. Найдите среди них какие-нибудь два, после стирания которых сумма всех чисел, стоящих между стёртыми, оказалась вдвое меньше суммы всех остальных не стёртых чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №81. Крокодил загадал четыре клетки таблицы $2018\times 2018$, образующие прямоугольник со сторонами 1 и 4. Медведь может выбрать в таблице любой квадрат, образованный 9 клетками, и спросить, есть ли в нём хотя бы одна из загаданных клеток. За какое наименьшее количество таких вопросов Медведь наверняка сможет получить утвердительный ответ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №82. Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №83. Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №84. Можно ли разрезать прямоугольник размером $2018\times 2019$ на фигурки вида уголка из 5 клеток (фигура, полученная вырезанием квадрата $2 \times 2$ из квадрата $3 \times 3$) и квадратика $2 \times 2$ (фигурки можно поворачивать и переворачивать)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №85. Решите в целых числах уравнение $2^a+a^2=4^b+b^2$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №86. Дано натуральное $n$. Назовём словом последовательность из $n$ букв алфавита, а расстоянием $\rho(A, B)$ между словами $A=a_1a_2\dots a_n$ и $B=b_1b_2\dots b_n$ -- количество разрядов, в которых они отличаются (то есть количество таких $i$, для которых $a_i\ne b_i$). Мы скажем, что слово $C$ лежит между словами $A$ и $B$, если $\rho (A,B)=\rho(A,C)+\rho(C,B)$. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы среди любых трёх нашлось слово, лежащее между двумя другими? ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №87. На плоскости нарисованы графики трех квадратных трехчленов. Могло ли так случиться, что первые два графика пересекаются в точках с абсциссами 1 и 4, второй и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 2 и 5, а первый и третий графики пересекаются в точках с абсциссами 3 и 6? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №88. Даны вещественные числа $a\ne 0$, $b$ и $c$. Докажите, что существует многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что многочлен $aP^2(x)+bP(x)+c$ делится на $x^2+1$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №89. На доске написаны числа 1, 2, 3, $\ldots,$ 1024. Их разбивают на пары, потом каждую пару стирают и на её место записывают (неотрицательную) разность чисел в паре. Полученные 512 чисел снова разбивают на пары и т.д. После десяти операций на доске остаётся одно число. Чему оно может быть равно? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №90. С многочленом третьей степени разрешается неограниченное число раз проделывать следующие две операции:
(i) переставлять его коэффициенты, включая нулевые, в обратном порядке (так, из многочлена $x^3-2x^2-3$ можно получить многочлен $-3x^3-2x+1$);
(ii) заменять многочлен $P(x)$ на многочлен $P(x+1)$.
Можно ли получить из многочлена $x^3-2$ многочлен $x^3-3x^2+3x-3$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №91. В последовательности вещественных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $|a_i| < 1$ при некотором $i$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №92. Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №93. В последовательности целых чисел $a_1$, $a_2$, $ldots$ произведение $a_1a_2$ отрицательно, а при $n > 2$ для вычисления $a_n$ среди всех пар $(i, j)$, $1\leq i < j < n$, которые ранее не выбирались, выбирается одна пара $(i, j)$, для которой $a_i+a_j$ имеет наименьшую абсолютную величину, и полагается $a_n=a_i+a_j$. Докажите, что $a_i=0$ при некотором $i$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №94. На Всероссийской олимпиаде разрешено награждать строго меньше $45\% $ участников. В олимпиаде участвовало более 20 участников. После олимпиады Власти заявили, что результаты низкие, так как доля награждённых заметно отличается от $45\%.$ Жюри ответило, что доля награждённых и так была максимально возможной на этой олимпиаде и даже на любой олимпиаде с меньшим числом участников. Тогда Власти приказали увеличить число участников на следующих олимпиадах с тем, чтобы доля награжденных стала хотя бы в два раза ближе к $45\%.$ Докажите, что количество участников потребуется увеличить хотя бы вдвое. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №95. Существуют ли такие 6 натуральных чисел, что наибольший общий делитель каждых двух из них — простое число, не превосходящее 26, и при этом каждое такое простое число является наибольшим общим делителем каких-то двух из этих шести чисел? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №96. На экране компьютера горит число, а на пульте компьютера есть две кнопки. Нажатие на одну из кнопок переводит число $n$, написанное на экране, в $2n-1,$ а на другую — в $2n+1$. Пока оператор отсутствовал, хулиган Вася подкрался к пульту и произвёл сто несанкционированных нажатий на кнопки. Докажите, что по числу, которое теперь горит на экране, оператор (знающий, сколько раз Вася нажимал на кнопки и какое число было на экране до прихода Васи) сможет определить, в каком порядке Вася нажимал на кнопки, если число, горевшее вначале на экране: а) целое; б) произвольное. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №97. Натуральное число $n$ таково, что ни при каких натуральных $a$ и $b$ число $2^a3^b+1$ не делится на $n$. Докажите, что $2^c+3^d$ также не делится на $n$ ни при каких натуральных $c$ и $d$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №98. В множестве из 20 элементов выбраны $2k+1$ различных семиэлементных подмножеств, каждое из которых пересекается ровно с $k$ другими выбранными подмножествами. При каком наибольшем $k$ это возможно? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №99. Можно ли отметить в ряду всех натуральных чисел бесконечно много чисел так, чтобы разность любых двух отмеченных чисел (где из большего вычитается меньшее) была квадратом натурального числа? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №100. Докажите, что при некотором натуральном $n$ остаток от деления $3^n$ на $2^n$ больше $10^{2021}$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №101. Пусть $P(x)$ — непостоянный многочлен степени $n$ с рациональными коэффициентами, который нельзя представить в виде произведения двух непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами. Докажите, что количество многочленов $Q(x)$ с рациональными коэффициентами, степени, меньшей $n$, таких, что $P(Q(x))$ делится на $P(x)$,
а) конечно;
б) не превосходит $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №102. На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах $a,b,c$, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах $a,b,c$, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем $m$ можно утверждать, что $m$ такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №103. Существуют ли попарно различные натуральные числа $a_1,a_2, \ldots, a_{100}$, одновременно удовлетворяющие следующим условиям:
i) число $a_1a_2\ldots a_{100}$ делится на $a_i+a_j$ при всех $1\le i < j\le 100$;
ii) для каждого $k=1,2,\ldots ,100$ найдутся индексы $i,j$ такие, что $1\le i < j\le 100$ и число $a_1a_2\ldots a_{k-1}a_{k+1}\ldots a_{100}$ не делится на $a_i+a_j$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №104. Можно ли разрезать клетчатый квадрат $100\times 100$ на равное количество прямоугольников $2\times 4$ и $1\times 8$? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №105. Последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ заданы условиями $a_1=b_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$, $b_{n+1}=b_n+\root 3\of {b_n}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что существует натуральное число $n$, для которого неравенство $a_n\leq b_k < a_{n+1}$ выполнено ровно при 2021 значениях $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №106. На полке стоят в беспорядке 100 томов энциклопедии, занумерованных всеми натуральными числами от 1 до 100. За одну операцию можно взять и любым способом переставить на своих местах любые три тома (т.е. если эти тома стояли в местах $a,b,c$, то после этой операции эти тома также будут стоять в местах $a,b,c$, но возможно в другом порядке). При каком наименьшем $m$ можно утверждать, что $m$ такими операциями удастся расставить все тома по порядку, как бы они ни были расставлены первоначально? (Тома стоят по порядку, если 1-й том стоит на 1-м месте, 2-й том на 2-м, ..., 100-й том на 100-м месте.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №107. Дан многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами и натуральное число $n$. Известно, что для любого натурального $m$ существует целое число $l$ такое, что $P(l)=m^n$. Докажите, что существуют действительные числа $a,b$ и натуральное число $k$ такие, что $P(x)={(ax+b)}^k$ при всех действительных $x$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №108. Дана последовательность $s$, состоящая из нулей и единиц. Для каждого натурального $k$ определим $v_k$ как наибольшее количество способов, которыми в какой-нибудь последовательности длины $k$ могут быть выделены несколько последовательных цифр, образующих последовательность $s$. (Например, если $s=0110$, то $v_7=v_8=2$, так как в последовательностях 0110110 и 01101100 найти подряд стоящие цифры 0110 можно в двух местах, а три пары единиц, обрамленных нулями, не могут встретиться в последовательности длины 7 или 8.) Известно, что $v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ для некоторого натурального $n$. Докажите, что в последовательности $s$ все цифры одинаковы. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №109. Для каждого натурального $m$ докажите неравенство $|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\dfrac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$. (Целой частью $[x]$ числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $[x] + \{x\} = x$.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(7) олимпиада
Задача №110. В последовательности квадратных трёхчленов $P_n$ каждый трёхчлен, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Первые два трехчлена не имеют общих корней. Может ли случиться, что при каждом $n$ у $P_n$ есть целый корень? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №111. Натуральные числа $n$ $(n > 1)$ и $k$ таковы, что для любого натурального делителя $d$ числа $n$ хотя бы одно из чисел $d+k$ и $d-k$ также является натуральным делителем числа $n$. Докажите, что число $n$ — простое. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №112. Даны натуральные числа $a$ и $b$ $(a > 1)$, причём $b$ делится на $a^2.$ Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем, является также делителем числа $a.$ Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей. ( И. Богданов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №113. Дан многочлен $f(x)$ с вещественными коэффициентами степени выше 1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $f(n+1)+\dots+f(n+k)$ с натуральными $n$ и $k$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №114. Даны два различных натуральных числа $A$ и $B$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, представимых и в виде $x_1^2+Ay_1^2$ со взаимно простыми $x_1$ и $y_1$, и в виде $x_2^2+ By_2^2$ со взаимно простыми $x_2$ и $y_2$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №115. В бесконечной последовательности $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ встречается только конечное количество разных чисел. Докажите, что $\alpha$ — целое число. (Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $\{x\} = x-[x]$, где $[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №116. Вася расставил по кругу все натуральные числа от 1 до 100 в каком-то порядке. Скажем, что число хорошо стоит, если соседнее с ним число по часовой стрелке больше, чем соседнее с ним число против часовой стрелки. Могло ли оказаться, что хорошо стоят по крайней мере 99 чисел? ( И. Рубанов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №117. Остаток от деления натурального числа $n$ на 2021 на 800 больше, чем остаток от деления числа $n$ на 2020. Найдите наименьшее такое $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №118. Сумма $n>2$ ненулевых вещественных чисел (не обязательно различных) равна нулю. Для каждого из $2^n-1$ способов выбрать несколько (не менее одного) из этих чисел подсчитали сумму выбранных чисел и все полученные $2^n-1$ сумм выписали в строку в невозрастающем порядке. Первое число в строке равно $S$. Найдите наименьшее возможное значение второго числа в строке. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №119. Назовём натуральное число хорошим, если оно представляется в виде $ax^2+bxy+cy^2$, где $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ -- целые числа и $b^2-4ac=-20$. Докажите, что произведение двух хороших чисел — тоже хорошее число. ( А. Голованов )
комментарий/решение(7) олимпиада
Задача №120. Даны натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_k$. Обозначим через $S(n)$ количество решений уравнения $a_1x_1+\dots+a_kx_k=n$ в целых неотрицательных числах $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_k$. Известно, что $S(n)\ne 0$ для всех достаточно больших $n$. Докажите, что $S(n+1)<2S(n)$ для всех достаточно больших $n$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №121. В клетках таблицы $10\times 10$ расставлены натуральные числа 1, 2, $\ldots$, 99, 100. Назовём уголком фигуру, которая получается удалением одной клетки из квадрата $2\times 2$. Назовем уголок хорошим, если число в его клетке, граничащей по сторонам с двумя другими, больше чисел, стоящих в этих двух других клетках. Каково наибольшее возможное число хороших уголков? (Каждый уголок учитывается независимо от того, как он расположен по отношению к другим, разные уголки могут частично накладываться). ( А. Голованов )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №122. Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №123. Дано натуральное число $n$. $n$-операция состоит в прибавлении к натуральному числу его остатка от деления на $n$. При каких натуральных $n$, больших 1, из каждого натурального числа за несколько $n$-операций получается число, кратное $n$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №124. Числа от 1 до 1000000 разбили на 100000 десятков (то есть групп от $10a+1$ до $10a+10$) и в каждом десятке покрасили одно число в красный цвет, а другое в зелёный. Докажите, что можно выбрать несколько (не более 50) красных чисел и столько же зелёных чисел так, чтобы сумма выбранных красных чисел была равна сумме выбранных зелёных. ( А. Голованов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №125. Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада