Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Положительные числа a и b таковы, что a3+b3=ab+1. Докажите, что (ab)2+a+b2. ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(8)
Задача №2.  Маша и Витя играют в игру на доске, имеющей форму правильного 1001-угольника. Вначале все вершины доски белые и в одной из них стоит фишка. На каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число k, затем Витя выбирает направление по или против хода часовой стрелки и сдвигает фишку в выбранном направлении на k вершин. Если в конце хода фишка оказывается в белой вершине, эта вершина закрашивается в красный цвет. Найдите наибольшее количество красных вершин, которого Маша может добиться вне зависимости от действий Вити, если количество ходов не ограничено. ( М. Карпук )
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Пару натуральных чисел (x,y) назовем хорошей, если x и y не делятся друг на друга, а множества простых делителей x и y совпадают. Даны различные взаимно простые натуральные числа a и b. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для каждого из которых найдётся натуральное m такое, что пара (an+bm,bn+am) хорошая. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  У Васи есть доска, на которой написано 999 последовательных натуральных чисел, а также 999 бумажек с надписями «Это число не делится на 2», «Это число не делится на 3», , «Это число не делится на 1000». Вася приклеит по одной из своих бумажек к каждому из чисел на доске, а затем ему дадут по конфете за каждую бумажку, на которой окажется верное утверждение. Какое наибольшее количество конфет Вася сможет заработать, каковы бы ни были числа на доске? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  В окружность Ω с центром O вписан выпуклый шестиугольник A1C2B1B2C1A2. Лучи A1B1 и A2B2 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и A2C2 — в точке Q. Окружность Γ1 касается прямых OB1 и OC1 в точках B1 и C1 соответственно, а окружность Γ2 касается прямых OB2 и OC2 в точках B2 и C2 соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой PQ, переводящая Γ1 в Γ2. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Для целого n>1 обозначим через Sn множество всех перестановок чисел 1,2,,n, то есть множество всех взаимно однозначных отображений σ:{1,2,,n}{1,2,,n}. Пару целых чисел (a,b), где 1a<bn, назовём {\it расширяющейся} для перестановки σSn, если |σ(a)σ(b)||ab|.
   (а) Верно ли, что при любом целом n>1 найдется перестановка σSn, для которой количество расширяющихся пар меньше, чем 1000nn?
   (б) Существуют ли целое n>1 и перестановка σSn такие, что количество расширяющихся пар для σ меньше, чем 11000nn? ( И. Богданов )
комментарий/решение
результаты