21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Положительные числа a и b таковы, что a3+b3=ab+1. Докажите, что (a−b)2+a+b≥2.
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №2. Маша и Витя играют в игру на доске, имеющей форму правильного 1001-угольника. Вначале все вершины доски белые и в одной из них стоит фишка. На каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число k, затем Витя выбирает направление по или против хода часовой стрелки и сдвигает фишку в выбранном направлении на k вершин. Если в конце хода фишка оказывается в белой вершине, эта вершина закрашивается в красный цвет. Найдите наибольшее количество красных вершин, которого Маша может добиться вне зависимости от действий Вити, если количество ходов не ограничено.
(
М. Карпук
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пару натуральных чисел (x,y) назовем хорошей, если x и y не делятся друг на друга, а множества простых делителей x и y совпадают. Даны различные взаимно простые натуральные числа a и b. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для каждого из которых найдётся натуральное m такое, что пара (an+bm,bn+am) хорошая.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. У Васи есть доска, на которой написано 999 последовательных натуральных чисел, а также 999 бумажек с надписями «Это число не делится на 2», «Это число не делится на 3», …, «Это число не делится на 1000». Вася приклеит по одной из своих бумажек к каждому из чисел на доске, а затем ему дадут по конфете за каждую бумажку, на которой окажется верное утверждение. Какое наибольшее количество конфет Вася сможет заработать, каковы бы ни были числа на доске?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В окружность Ω с центром O вписан выпуклый шестиугольник A1C2B1B2C1A2. Лучи A1B1 и A2B2 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и A2C2 — в точке Q. Окружность Γ1 касается прямых OB1 и OC1 в точках B1 и C1 соответственно, а окружность Γ2 касается прямых OB2 и OC2 в точках B2 и C2 соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой PQ, переводящая Γ1 в Γ2.
(
П. Кожевников,
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Для целого n>1 обозначим через Sn множество всех перестановок чисел 1,2,…,n, то есть множество всех взаимно однозначных отображений σ:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}. Пару целых чисел (a,b), где 1⩽a<b⩽n, назовём {\it расширяющейся} для перестановки σ∈Sn, если |σ(a)−σ(b)|⩾|a−b|.
(а) Верно ли, что при любом целом n>1 найдется перестановка σ∈Sn, для которой количество расширяющихся пар меньше, чем 1000n√n?
(б) Существуют ли целое n>1 и перестановка σ∈Sn такие, что количество расширяющихся пар для σ меньше, чем 11000n√n? ( И. Богданов )
комментарий/решение
(а) Верно ли, что при любом целом n>1 найдется перестановка σ∈Sn, для которой количество расширяющихся пар меньше, чем 1000n√n?
(б) Существуют ли целое n>1 и перестановка σ∈Sn такие, что количество расширяющихся пар для σ меньше, чем 11000n√n? ( И. Богданов )
комментарий/решение