Сатылханов К.
Задача №1. Бесконечная строго возрастающая последовательность {an} положительных чисел удовлетворяет соотношению an+2=(an+1−an)√n+n−√n для каждого натурального n. Докажите, что для любого C>0 существует такое натуральное m(C) (зависящее от C), что am(C)>C. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Бесконечная строго возрастающая последовательность {an} положительных чисел удовлетворяет соотношению an+2=(an+1−an)√n+n−√n для каждого натурального n. Докажите, что для любого C>0 существует такое натуральное m(C) (зависящее от C), что am(C)>C. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Последовательность {an} определяется следующим образом: a1=2015, a2=22015 и при всех натуральных n≥1 an+2=an+⌈an+1n⌉. Докажите, что существуют натуральные числа M и c такие, что при всех n≥M число naan+c будет точной степенью. (Здесь ⌈x⌉ — верхняя целая часть числа x, то есть наименьшее целое число, которое не меньше x. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде mk для некоторых целых m>1 и k>1.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Дано натуральное число a. Докажите, что для любого натурального m существует бесконечно много натуральных n таких, что количество делителей числа nan+1 делится на m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №5. Даны натуральные числа k, ℓ и a1,a2,…,ak (ℓ≥2). Докажите, что для любого натурального M существует натуральное число x, такое, что каждое из чисел x, x+1, …, x+M−1 не представимо в виде ani+mℓ, где n и m — целые неотрицательные числа (1≤i≤k). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №6. Дано натуральное число a. Докажите, что для любого натурального m существует бесконечно много натуральных n таких, что количество делителей числа nan+1 делится на m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №7. Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел (a,b,c) такие, что для каждого натурального n число (an+bn+cn)2 делится на ab+bc+ca. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №8. Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n числа an+nb и bn+na взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9. Пусть a1, a2, …, a2014 — перестановка чисел 1, 2, …, 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел a21+a2, a22+a3, …, a22013+a2014, a22014+a1 могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10. Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n числа an+nb и bn+na взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №11. Действительные числа a, b, c, d удовлетворяют следующим условиям:
i) a≠b, b≠c, c≠d, d≠a;
ii) 1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−d)2+1(d−a)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №12. Дано целое n≥1 и положительные действительные числа a1, a2, …, an. Пусть s=a1+a2+…+an. Известно, что для каждого i=1, 2, …, n выполняется неравенство ai2>iai+s. Докажите, что 2s>3n2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Докажите, что если p, q, m, n натуральные числа, причем p и q простые, то равенство (2p−p2)(2q−q2)=pmqn невозможно. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №14. Последовательность {an}n=1,2,… определена следующим образом: a1=1, an=a[n/2]2+a[n/3]3+…+a[n/n]n. Докажите, что для всех натуральных чисел n выполнено a2n<2an. Здесь [x] — целая часть числа x, наибольшее целое число, не превосходящее x. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15. Определите все тройки натуральных чисел (m,n,k) такие, что (mn−1) делится на km и (nm−1) делится kn. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №16. На доске записаны числа 1,2,…,25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа a, b, c написанных на доске и записать вместо него число a3+b3+c3. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно 20133. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №17. Пусть AD, BE и CF биссектрисы треугольника ABC. Обозначим через M и N середины отрезков DE и DF соответственно. Докажите, что если ∠BAC≥60∘, то BN+CM<BC. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №18. На доске записаны числа 1, 2, …, 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа a, b, c написанных на доске и записать вместо него число a3+b3+c3. Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно 20133. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15) олимпиада
Задача №19. Последовательность an определяется следующим образом: a1=4, a2=17 и для любого k≥1 справедливы соотношения: a2k+1=a2+a4+…+a2k+(k+1)(22k+3−1), a2k+2=(22k+2+1)a1+(22k+3+1)a3+…+(23k+1+1)a2k−1+k. Найдите наименьшее m, такое что (a1+a2+…+am)20122012−1 делится на 220122012. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №20. Существует ли такая бесконечная последовательность целых положительных чисел (an), что для каждого n≥1 выполняется соотношение an+2=√an+1+an? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №21. Даны положительные действительные числа a, b, c, d∈R+, для которых выполнено следующие условия:
а) (a−c)(b−d)=−4.
б) a+c2≥a2+b2+c2+d2a+b+c+d.
Найти минимум выражения a+c. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №22. Даны натуральные числа a,b и функция f:N→N такая, что для любого натурального n число f(n+a) делится на f([√n]+b). Докажите, что для любого натурального n существует n попарно различных и попарно взаимно простых натуральных чисел a1, a2, …, an такие, что число f(ai+1) делится на f(ai) для каждого i=1,2,…,n−1. (Здесь [x] — целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x; N — множество натуральных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №23. Докажите, что не существует положительных действительных чисел a, b, c, d таких, что одновременно выполнены равенства ab+bc+cd+da=6 и ba+cb+dc+ad=32. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №24. Пусть a, b, c натуральные такие, что для любого натурального n, число ((an−1)(bn−1)(cn−1)+1)3 делится на (abc)n. Докажите, что a=b=c. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №25. Пусть a, b, c принадлежат отрезку [−2,2]. Найдите наибольшее возможное значение суммы |a2−bc+1|+|b2−ca+1|+|c2−ab+1|. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №26. Пусть a, b и c такие действительные числа, что |(a−b)(b−c)(c−a)|=1. Найдите наименьшее значение выражения |a|+|b|+|c|. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №27. Докажите, что для любого натурального числа n существуют натуральные числа a, b, c такие, что n=(a2−bc)(b,c)+(b2−ca)(c,a)+(c2−ab)(a,b). Здесь (a,b) — наибольший общий делитель чисел a, b. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №28. Пусть {an}n≥1 и {bn}n≥1 — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального n, хотя бы одно из чисел (a2n+a2n+1)(b2n+b2n+1) или (a2n+b2n)(a2n+1+b2n+1) является точным квадратом. Докажите, что an=bn, для любого натурального n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №29. Можно ли числа 1, 2, …, 2017 разбить на три непустых множества A, B и C так, что для любых a∈A, b∈B и c∈C числа ab+c и ac+b не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №30. Пусть a и b такие действительные числа, что |3a2−1|≤2b и |3b2−2|≤a. Докажите, что a4+b3≤2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(7) олимпиада
Задача №31. В каждую клетку таблицы 100×100 записано одно из чисел 1,2,…,100, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №32. Можно ли числа 1, 2, …, 2017 разбить на три непустых множества A, B и C так, что для любых a∈A, b∈B и c∈C числа ab+c и ac+b не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №33. Найдите все функции f:R→R такие, что |y−f(f(x))|≥|f(x)2+xf(y)| для любых действительных x и y. Здесь R — множество действительных чисел. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №34. В каждую клетку таблицы 100×100 записано одно из чисел 1,2,...,100, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №35. Найдите все пары нечетных натуральных чисел (a,b) таких, что a,b<22017, а числа ab+b и ba+a делятся на 22017. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №36. Даны действительные числа x,y,z≥12 такие, что x2+y2+z2=1. Докажите неравенство (1x+1y−1z)(1x−1y+1z)≥2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №37. Бесконечная, строго возрастающая последовательность {an} натуральных чисел удовлетворяет условию aan≤an+an+3, при всех n≥1. Докажите, что существуют бесконечно много троек (k,l,m) натуральных чисел таких, что k<l<m и ak+am=2al. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №38. Докажите, что среди любых 42 чисел из промежутка [1,106] можно выбрать четыре числа так, что для любой перестановки (a,b,c,d) этих чисел выполняется неравенство 25(ab+cd)(ad+bc)≥16(ac+bd)2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №39. Пусть N — множество натуральных чисел. Определите все неубывающие функции f:N→N такие, что для любых натуральных чисел m,n выполнено равенство f(f(m)⋅f(n)+m)=f(mf(n))+f(m). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №40. Пусть N — множество всех натуральных чисел. Определите все функции f:N→N такие, что для любых натуральных чисел m, n выполнены неравенства 2f(mn)≥f(m2+n2)−f(m)2−f(n)2≥2f(m)f(n). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №41. Пусть a, b, c принадлежат отрезку [−2,2]. Найдите наибольшее возможное значение суммы |a2−bc+1|+|b2−ca+1|+|c2−ab+1|. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №42. Пусть a1, a2, …, a2014 — перестановка чисел 1, 2, …, 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел a21+a2, a22+a3, …, a22013+a2014, a22014+a1 могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №43. Докажите, что существует бесконечно много пар (m,n) натуральных чисел таких, что число (m!)n+(n!)m+1 делится на m+n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №44. Пусть R+ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции f:R+→R+ такие, что f(3f(xy)2+(xy)2)=(xf(y)+yf(x))2 для любых x,y∈R+. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №45. N — множество натуральных чисел. Существует ли функция f:N→N такая, что для любых натуральных m и n выполнено равенство f(mf(n))=f(m)f(m+n)+n? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №46. Даны натуральные числа a, b, c и d такие, что числа a и b взаимно просты и a>b. Известно, что число c2 делится на a2+b, а число d2 делится на a2+b2. Докажите, что cd>2a2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №47. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c∈(0,1) выполняется неравенство (√2a−bc)(√2b−ca)(√2c−ab)≤18. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №48. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d∈(0,1) выполняется неравенство (ab−cd)(ac+bd)(ad−bc)+min ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №49. Дано множество S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}. Пусть a и n натуральные числа такие, что a+2^k\in S для каждого k=1,2,\ldots,n. Найдите наибольшее возможное значение n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №50. Существует ли последовательность натуральных чисел a_1,a_2,\ldots, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз, такая, что число \tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1}) делится на n для любого натурального n? (\tau(n) — количество натуральных делителей числа n). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №51. Пусть a_1, a_2, \ldots, a_{99} положительные действительные числа такие, что ia_j+ja_i\ge i+j для всех 1\le i < j \le 99. Докажите, что (a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №52. Найдите все такие пары (m, n) натуральных чисел, что n^4 \ | \ 2m^5 - 1 и m^4 \ | \ 2n^5 + 1. Запись a \ | \ b обозначает, что a делит b. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №53. Найдите все такие пары (m, n) натуральных чисел, что n^4 \ | \ 2m^5 - 1 и m^4 \ | \ 2n^5 + 1. Запись a \ | \ b обозначает, что a делит b. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №54. Дана строго возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a_1, a_2, a_3, \ldots. Известно, что a_n \leq n+2020 и число n^3 a_n - 1 делится на a_{n+1} при всех натуральных n. Докажите, что a_n = n при всех натуральных n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №55. Найдите все пары (a,n) натуральных чисел таких, что \varphi (a^n+n)=2^n. (\varphi(n) — функция Эйлера, то есть количество целых чисел от 1 до n, взаимно простых с n.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №56. Пусть 1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160 — такие действительные числа, что x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i) при любых 1 \le i < j < k \le n.
Найдите наибольшее возможное значение n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №57. Дан треугольник ABC, в котором AB+AC > 3BC. Внутри этого треугольника отмечены точки P и Q такие, что \angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC и \angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB. Докажите, что AP+AQ > 2BC. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №58. Найдите все функции f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}} такие, что f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1 для любых x,y\in {{R}^{+}}. (Здесь {{R}^{+}} — множество положительных действительных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Задача №59. Пусть ABCD вписанный четырехугольник, в котором \angle BAD < 90^\circ. На лучах AB и AD выбраны точки K и L, соответственно, такие, что KA=KD, LA=LB. Пусть N — середина отрезка AC. Докажите, что если \angle BNC=\angle DNC, то \angle KNL =\angle BCD. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №60. Даны натуральные числа a,b,m и k, где k\ge 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n такие, что \text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 (\varphi_1(n) = \varphi(n) — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до n, которые взаимно просты с n, \varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n)) при всех i\ge 1, а [ x] — целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №61. Дано целое число n > 100. Целые числа от 1 до 4n разбиты на n групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее \dfrac{(n-6)^2}{2} четверок (a, b, c, d) целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
(i) 1\le a < b < c < d\le 4n;
(ii) числа a, b, c, d лежат в попарно разных группах;
(iii) c - b\le |ad - bc|\le d - a. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №62. Дано целое число n > 100. Целые числа от 1 до 4n разбиты на n групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее \dfrac{(n-6)^2}{2} четверок (a, b, c, d) целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
(i) 1\le a < b < c < d\le 4n;
(ii) числа a, b, c, d лежат в попарно разных группах;
(iii) c - b\le |ad - bc|\le d - a. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №63. Даны натуральные числа a,b,m и k, где k\ge 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n такие, что \text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 (\varphi_1(n) = \varphi(n) — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до n, которые взаимно просты с n, \varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n)) при всех i\ge 1, а [ x] — целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №64. Целое число m\ge 3 и бесконечная последовательность натуральных чисел (a_n)_{n\ge 1} при всех натуральных n удовлетворяет равенству a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. Докажите, что a_1 < 2^m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №65. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c хотя бы одно из чисел a^3b+1, b^3c+1, c^3a+1 не делится на a^2+b^2+c^2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада
Задача №66. Целое число m\ge 3 и бесконечная последовательность натуральных чисел (a_n)_{n\ge 1} при всех натуральных n удовлетворяет равенству a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. Докажите, что a_1 < 2^m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №67. Целое число m\ge 3 и бесконечная последовательность натуральных чисел (a_n)_{n\ge 1} при всех натуральных n удовлетворяет равенству a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}. Докажите, что a_1 < 2^m. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №68. Дано простое число p\ge 3 и натуральное число d. Докажите, что существует натуральное число n, взаимно простое с d, такое, что произведение P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})} не делится на p^n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №69. Дано простое число p\ge 3 и натуральное число d. Докажите, что существует натуральное число n, взаимно простое с d, такое, что произведение P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})} не делится на p^n. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №70. Пару натуральных чисел (x, y) назовем хорошей, если x и y не делятся друг на друга, а множества простых делителей x и y совпадают. Даны различные взаимно простые натуральные числа a и b. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для каждого из которых найдётся натуральное m такое, что пара (a^n+bm, b^n+am) хорошая. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада