Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс


Последовательность {an} определяется следующим образом: a1=2015, a2=22015 и при всех натуральных n1 an+2=an+an+1n. Докажите, что существуют натуральные числа M и c такие, что при всех nM число naan+c будет точной степенью. (Здесь x — верхняя целая часть числа x, то есть наименьшее целое число, которое не меньше x. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде mk для некоторых целых m>1 и k>1.) ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6
3 года 1 месяца назад #

Решение (200 пост): Докажем, что ai+1(ai;ii1ai),i2. Сделаем это индукцией по i. База очевидна. Допустим это верно для 2i<n, и докажем для n. Для этого запишем ряд равенств/неравенств

an<an1+ann1an+1=an1+ann1<an1+1+ann1an+ann1=nn1an.

Заметим, что тогда

a21>a32>>aj+1j>>0

a21a32aj+1j1.

Откуда для некоторого натурального N,nN,an+1n=C натуральная константа, следовательно

Cnan+1>(C1)n,  an+2=an+C

an+1+Ci=an+2i+1>(C1)(n+2i)

an+1(C1)n>i(C2),

из чего вытекает, что C2. Очевидно, что C=2, так как an+2>an+1>an. Отсюда же an+2=an+1+1=an+2, поэтому

an=n+t,nM,t=aMM>0

для некоторого M. Теперь если рассмотреть c=t2

nM:naan+c=nan+t+t2=n(n+2t)+t2=(n+t)2,

что является точной степенью.