Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс
Последовательность {an} определяется следующим образом: a1=2015, a2=22015 и при всех натуральных n≥1
an+2=an+⌈an+1n⌉.
Докажите, что существуют натуральные числа M и c такие, что при всех n≥M число naan+c будет точной степенью. (Здесь ⌈x⌉ — верхняя целая часть числа x, то есть наименьшее целое число, которое не меньше x. Число называется точной степенью, если оно представимо в виде mk для некоторых целых m>1 и k>1.)
(
Сатылханов К.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение (200 пост): Докажем, что ai+1∈(ai;ii−1ai),∀i≥2. Сделаем это индукцией по i. База очевидна. Допустим это верно для 2≤i<n, и докажем для n. Для этого запишем ряд равенств/неравенств
an<an−1+ann−1≤an+1=an−1+⌈ann−1⌉<an−1+1+ann−1≤an+ann−1=nn−1an.◻
Заметим, что тогда
a21>a32>…>aj+1j>…>0
⟹⌈a21⌉≥⌈a32⌉≥…≥⌈aj+1j⌉≥…≥1.
Откуда для некоторого натурального N,∀n≥N,⌈an+1n⌉=C − натуральная константа, следовательно
Cn≥an+1>(C−1)n, an+2=an+C
⟹an+1+Ci=an+2i+1>(C−1)(n+2i)
⟹an+1−(C−1)n>i(C−2),
из чего вытекает, что C≤2. Очевидно, что C=2, так как an+2>an+1>an. Отсюда же an+2=an+1+1=an+2, поэтому
an=n+t,∀n≥M,t=aM−M>0
для некоторого M. Теперь если рассмотреть c=t2
∀n≥M:naan+c=n⋅an+t+t2=n⋅(n+2t)+t2=(n+t)2,
что является точной степенью.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.