Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып


{an} тізбегі келесі шарт бойынша анықталады: a1=2015, a2=22015 және барлық натурал n1 үшін an+2=an+an+1n. Кез келген nM үшін naan+c саны толық дәреже болатындай, натурал M және c сандары табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде x — ол x санының жоғары бөлігі, яғни x-тен кем емес ең кіші бүтін сан. Егер қандай да бір m>1 және k>1 бүтін сандары үшін санды mk түрінде жазуға болса, онда ондай санды толық дәреже деп атайды. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6
3 года 2 месяца назад #

Решение (200 пост): Докажем, что ai+1(ai;ii1ai),i2. Сделаем это индукцией по i. База очевидна. Допустим это верно для 2i<n, и докажем для n. Для этого запишем ряд равенств/неравенств

an<an1+ann1an+1=an1+ann1<an1+1+ann1an+ann1=nn1an.

Заметим, что тогда

a21>a32>>aj+1j>>0

a21a32aj+1j1.

Откуда для некоторого натурального N,nN,an+1n=C натуральная константа, следовательно

Cnan+1>(C1)n,  an+2=an+C

an+1+Ci=an+2i+1>(C1)(n+2i)

an+1(C1)n>i(C2),

из чего вытекает, что C2. Очевидно, что C=2, так как an+2>an+1>an. Отсюда же an+2=an+1+1=an+2, поэтому

an=n+t,nM,t=aMM>0

для некоторого M. Теперь если рассмотреть c=t2

nM:naan+c=nan+t+t2=n(n+2t)+t2=(n+t)2,

что является точной степенью.