Республиканская олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс

Задача №1. Дано натуральное число

$a$ . Докажите, что для любого натурального

$m$ существует бесконечно много натуральных

$n$ таких, что количество делителей числа

$n{{a}^{n}}+1$ делится на

$m$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Задача №2. Дан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ . Точки

$K$ и

$M$ — середины сторон

$BC$ и

$AD$ соответственно. Отрезки

$AK$ и

$BM$ пересекаются в точке

$N$ , а отрезки

$KD$ и

$CM$ — в точке

$L$ . Оказалось, что полученный четырехугольник

$KLMN$ — вписанный. Пусть описанные окружности треугольников

$BNK$ и

$AMN$ во второй раз пересекаются в точке

$Q$ , а описанные окружности треугольников

$KLC$ и

$DML$ — в точке

$P$ . Докажите, что у четырехугольников

$KLMN$ и

$KPMQ$ площади равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №3. На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, которые пересекающиеся по двум точкам из данного множества. ( Ильясов С. )
комментарий/решение

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ точка

$N$ — основание биссектрисы угла

$C$ , точка

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$\omega$ — описанная около него окружность. Прямая

$CN$ во второй раз пересекает

$\omega$ в точке

$D$ . На отрезках

$AD$ и

$BD$ взяты точки

$K$ и

$L$ соответственно, так, что

$\angle ACK=\angle BCL$ . Пусть описанные окружности треугольников

$ACK$ и

$BCL$ во второй раз пересекаются в точке

$P$ , а

$Q$ — точка пересечения прямых

$DM$ и

$KL$ . Докажите, что точки

$M,N,P, Q$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Задача №5. Найдите все такие пары натуральных чисел

$(n,k)$ , что число

$(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ является полным квадратом. ( Ильясов С., Овчинников Д. )
комментарий/решение(4)

Задача №6. Последовательность

$\{{{a}_{n}}\}$ определяется следующим образом:

${{a}_{1}}=2015$ ,

${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ и при всех натуральных

$n\ge 1$

${a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\frac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .$ Докажите, что существуют натуральные числа

$M$ и

$c$ такие, что при всех

$n\ge M$ число

$n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ будет точной степенью. (Здесь

$\left\lceil x \right\rceil$ — верхняя целая часть числа

$x$ , то есть наименьшее целое число, которое не меньше

$x$ . Число называется точной степенью, если оно представимо в виде

${{m}^{k}}$ для некоторых целых

$m > 1$ и

$k > 1$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты