Математикадан республикалық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Натурал

$a$ саны берілген. Әрбір

$m$ натурал саны үшін

$n{{a}^{n}}+1$ санының бөлгіштер саны

$m$ -ға бөлінетіндей шексіз көп натурал

$n$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышы берілген.

$K$ және

$M$ — сәйкесінше

$BC$ және

$AD$ қабырғаларының орталары.

$AK$ және

$BM$ кесінділері

$N$ , ал

$KD$ және

$CM$ кесінділері

$L$ нүктелерінде қиылыссын. Пайда болған

$KLMN$ төртбұрышы іштей сызылғаны белгілі.

$BNK$ және

$AMN$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$Q$ , ал

$KLC$ және

$DML$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$P$ нүктелерінде қиылыссын.

$KLMN$ және

$KPMQ$ төртбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Жазықтықта ешбір үшеуі бір түзудің бойында жатпайтындай және ешбір төртеуі бір шеңбердің бойында жатпайтындай 2015 нүктелер жиыны берілген. Берілген жиындағы қандай да бір үш нүкте арқылы өтетін және қалған нүктелерді қақ бөлетін шеңберлерді қарастырайық (яғни 1006-сы шеңбер ішінде, ал қалған 1006-сы шеңбер сыртында болатын). Осы қарастырып отырған шеңберлер ішінде берілген жиындағы екі нүктеде қиылысатын үш шеңбер табылатынын дәлелдеңіз. ( Ильясов С. )
комментарий/решение

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$N$ —

$C$ бұрышынан түсірілген биссектриса табаны,

$M$ —

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$\omega$ — оған сырттай сызылған шеңбер.

$CN$ түзуі

$\omega$ -ны екінші рет

$D$ нүктесінде қияды.

$AD$ және

$BD$ кесінділерінен

$\angle ACK=\angle BCL$ болатындай сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелері алынған.

$ACK$ және

$BCL$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$P$ нүктесінде, ал

$DM$ және

$KL$ түзулері

$Q$ нүктелерінде қиылысады.

$M,N,P, Q$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Есеп №5.

$(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ саны толық квадрат болатындай барлық

$(n,k)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар. ( Ильясов С., Овчинников Д. )
комментарий/решение(4)

Есеп №6.

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі келесі шарт бойынша анықталады:

${{a}_{1}}=2015$ ,

${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ және барлық натурал

$n\ge 1$ үшін

${a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\dfrac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .$ Кез келген

$n\ge M$ үшін

$n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ саны толық дәреже болатындай, натурал

$M$ және

$c$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде

$\left\lceil x \right\rceil$ — ол

$x$ санының жоғары бөлігі, яғни

$x$ -тен кем емес ең кіші бүтін сан. Егер қандай да бір

$m > 1$ және

$k > 1$ бүтін сандары үшін санды

${{m}^{k}}$ түрінде жазуға болса, онда ондай санды толық дәреже деп атайды. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

результаты