М. Кунгожин

Задача №1. В равнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$H$ — середина основания

$AB$ ,

$M$ — середина отрезка

$BH$ . Пусть

$HK$ — высота треугольника

$ACH$ , а прямые

$CM$ и

$BK$ пересекаются в точке

$L$ . Перпендикуляр к прямой

$BC$ в точке

$B$ и прямая

$LH$ пересекаются в точке

$N$ . Докажите, что угол

$BCN$ в два раза меньше угла

$ACB.$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Вписанная окружность треугольника

$ABC$ касается сторон

$BC$ и

$AC$ в точках

$A_1$ и

$B_1$ , а вневписанная окружность, соответствующая стороне

$AB$ , касается продолжении этих сторон в точках

$A_2$ и

$B_2$ соответственно. Пусть вписанная в

$\triangle ABC$ окружность касается стороны

$AB$ в точке

$K$ . Обозначим через

$O_a$ и

$O_b$ центры описанных около треугольников

$A_1A_2K$ и

$B_1B_2K$ окружностей. Докажите, что прямая

$O_aO_b$ проходит через середину отрезка

$AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Вокруг треугольника

$ABC$ описана окружность

$\omega$ , а

$I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая

$CI$ пересекает

$\omega$ вторично в точке

$P$ . Пусть окружность с диаметром

$IP$ пересекает

$AI$ ,

$BI$ и

$\omega$ вторично в точках

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно. Отрезки

$KN$ и

$AB$ пересекаются в точке

$B_1$ , а отрезки

$KM$ и

$AB$ — в точке

$A_1$ . Докажите, что

$\angle ACB = \angle A_1IB_1$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ из наибольшего угла

$C$ проведена высота

$CH$ . Отрезки

$HM$ и

$HN$ — высоты треугольников

$ACH$ и

$BCH$ соответственно, а

$HP$ и

$HQ$ — биссектрисы треугольников

$AMH$ и

$BNH$ . Пусть точка

$R$ — основание перпендикуляра из точки

$H$ на прямую

$PQ$ . Докажите, что

$R$ — точка пересечения биссектрис треугольника

$MNH$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Вокруг треугольника

$ABC$ описана окружность

$\omega$ , а

$I$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая

$CI$ пересекает

$\omega$ вторично в точке

$P$ . Пусть окружность с диаметром

$IP$ пересекает

$AI$ ,

$BI$ и

$\omega$ вторично в точках

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно. Отрезки

$KN$ и

$AB$ пересекаются в точке

$B_1$ , а отрезки

$KM$ и

$AB$ — в точке

$A_1$ . Докажите, что

$\angle ACB = \angle A_1IB_1$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №6. В треугольнике

$ABC$ точка

$N$ — основание биссектрисы угла

$C$ , точка

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$\omega$ — описанная около него окружность. Прямая

$CN$ во второй раз пересекает

$\omega$ в точке

$D$ . На отрезках

$AD$ и

$BD$ взяты точки

$K$ и

$L$ соответственно, так, что

$\angle ACK=\angle BCL$ . Пусть описанные окружности треугольников

$ACK$ и

$BCL$ во второй раз пересекаются в точке

$P$ , а

$Q$ — точка пересечения прямых

$DM$ и

$KL$ . Докажите, что точки

$M,N,P, Q$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №7. Дан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ . Точки

$K$ и

$M$ — середины сторон

$BC$ и

$AD$ соответственно. Отрезки

$AK$ и

$BM$ пересекаются в точке

$N$ , а отрезки

$KD$ и

$CM$ — в точке

$L$ . Оказалось, что полученный четырехугольник

$KLMN$ — вписанный. Пусть описанные окружности треугольников

$BNK$ и

$AMN$ во второй раз пересекаются в точке

$Q$ , а описанные окружности треугольников

$KLC$ и

$DML$ — в точке

$P$ . Докажите, что у четырехугольников

$KLMN$ и

$KPMQ$ площади равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №8. Даны две окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ , отрезки

$AB$ и

$CD$ — общие внешние касательные к ним (точки

$A$ и

$C$ лежат на

$\omega_1$ , а точки

$B$ и

$D$ — на

$\omega_2$ ). Прямая

$AD$ во второй раз пересекает окружность

$\omega_1$ в точке

$P$ , а окружность

$\omega_2$ в точке —

$Q$ . Пусть касательная к

$\omega_1$ в точке

$P$ пересекает

$AB$ в точке

$R$ , а касательная к

$\omega_2$ в точке

$Q$ пересекает

$CD$ в точке

$S$ .

$M$ — середина отрезка

$RS$ . Докажите, что

$MP=MQ$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №9. Окружность

$\omega$ , описанная около треугольника

$ABC$ , пересекает стороны

$AD$ и

$DC$ , параллелограмма

$ABCD$ , во второй раз в точках

$A_1$ и

$C_1$ соответственно. Обозначим через

$E$ точку пересечения прямых

$AC$ и

$A_1C_1$ . Пусть

$BF$ — диаметр

$\omega$ , а точка

$O_1$ симметрична центру

$\omega$ относительно

$AC$ . Докажите, что прямые

$FO_1$ и

$DE$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №10. В треугольнике

$ABC$ точка

$N$ — основание биссектрисы угла

$B$ , а точка

$M$ — середина стороны

$AC$ . На отрезке

$BN$ нашлись точки

$A_1$ и

$C_1$ такие, что

$NA=NA_1$ и

$NC=NC_1$ . Прямые

$AA_1$ и

$CC_1$ пересекаются в точке

$E$ . Прямая

$ME$ пересекает отрезок

$BC$ в точке

$F$ . Докажите равенство

$AB+BF=CF$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №11. Вписанная и вневписанная окружности прямоугольного треугольника

$ABC$ , в котором угол

$C$ прямой, касаются стороны

$BC$ в точках

$A_1$ и

$A_2$ соответственно. Аналогично определим точки

${{B}_{1}}$ и

${{B}_{2}}$ . Докажите, что отрезки

${{A}_{1}}{{B}_{2}}$ и

${{B}_{1}}{{A}_{2}}$ пересекаются на высоте проведённой из вершины

$C$ треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №12. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ вписанная окружность касается сторон

$AB$ и

$BC$ в точках

$C_1$ и

$A_1$ соответственно, а вневписанная окружность (касающаяся стороны

$AC$ ) — соответственно в точках

$C_2$ и

$A_2$ . Точка

$N$ — основание биссектрисы из вершины

$B$ . Прямая

$A_1C_1$ пересекают прямую

$AC$ в точке

$K_1$ . Пусть описанная окружности треугольника

$BK_1N$ повторно пересекают описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$P_1$ . Аналогично определим точки

$K_2$ и

$P_2$ . Докажите, что

$AP_1 = CP_2$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №13. Около неравнобедренного треугольника

$ABC$ описана окружность

$\omega$ , точка

$M$ — середина

$AC$ . Касательная к

$\omega$ в точке

$B$ пересекает прямую

$AC$ в точке

$N$ , а прямая

$BM$ повторно пересекает

$\omega$ в точке

$L$ . Пусть точка

$P$ симметрична точке

$L$ относительно

$M$ . Окружность, описанная около треугольника

$BPN$ , повторно пересекает прямую

$AN$ в точке

$Q$ . Докажите, что

$\angle ABP = \angle QBC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(13) олимпиада

Задача №14. В выпуклом четырёхугольнике

$ABCD$ справедливы следующие соотношения:

$AB=BC$ ,

$AD=BD$ и

$\angle ADB = 2 \angle BDC$ . Известно, что

$\angle ACD = 100^\circ$ . Найдите

$\angle ADC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №15. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть вписанная в него окружность касается сторон

$AB$ ,

$BC$ и

$AC$ в точках

$C_1$ ,

$A_1$ и

$B_1$ соответственно. Известно, что выполняется равенство

$1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ . Докажите, что отрезок

$CC_1$ делится вписанной окружностью в отношении

$1:2$ считая от вершины

$C$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №16. Дан треугольник

$ABC$ , около которого описана окружность с центром

$O$ . Пусть

$I$ — центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ , а точки

$A_1$ (

$A\neq A_1$ ) и

$B_1$ (

$B\neq B_1$ ) на описанной окружности такие, что угол

$\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и

$\angle IB_1A=\angle IB_1C$ . Докажите, что прямые

$AA_1$ и

$BB_1$ пересекаются на прямой

$OI$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №17. Дан треугольник

$ABC$ . Пусть вписанная в него окружность касается сторон

$AB$ ,

$BC$ и

$AC$ в точках

$C_1$ ,

$A_1$ и

$B_1$ соответственно. Известно, что выполняется равенство

$1/AC_1 + 1/BC_1 = 2/CA_1$ . Докажите, что отрезок

$CC_1$ делится вписанной окружностью в отношении

$1:2$ считая от вершины

$C$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №18. Пусть диагонали вписанного выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ , а продолжение противоположных сторон

$AB$ и

$CD$ в точке

$K$ . Точки

$M$ и

$N$ на сторонах

$AB$ и

$CD$ соответственно такие, что выполняется равенство

$AM/MB = CN/ND$ . Пусть

$MN$ пересекает диагонали

$ABCD$ в точках

$Q$ и

$R$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$PRQ$ и

$KMN$ касаются, причем в фиксированной точке плоскости. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №19. Дан треугольник

$ABC$ , около которого описана окружность с центром

$O$ . Пусть

$I$ — центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ , а точки

$A_1$ (

$A\neq A_1$ ) и

$B_1$ (

$B\neq B_1$ ) на описанной окружности такие, что угол

$\angle IA_1B=\angle IA_1C$ и

$\angle IB_1A=\angle IB_1C$ . Докажите, что прямые

$AA_1$ и

$BB_1$ пересекаются на прямой

$OI$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №20. Пусть

$\omega$ — описанная окружность треугольника

$ABC$ с тупым углом

$C$ а

$C'$ симметричная точка точке

$C$ относительно

$AB$ .

$M$ — середина

$AB$ .

$C'M$ пересекает

$\omega$ в точке

$N$ (

$C'$ между

$M$ и

$N$ ). Пусть

$BC'$ вторично пересекает

$\omega$ в точке

$F$ , а

$AC'$ вторично пересекает

$w$ в точке

$E$ .

$K$ — середина

$EF$ . Докажите что прямые

$AB$ ,

$CN$ и

$KC'$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №21. Вокруг остроугольного треугольника

$ABC$ (

$AC>CB$ ) описана окружность, а точка

$N$ — середина дуги

$ACB$ этой окружности. Пусть точки

$A_1$ и

$B_1$ — основания перпендикуляров на прямую

$NC$ , проведенные из точек

$A$ и

$B$ соответственно (отрезок

$NC$ лежит внутри отрезка

$A_1B_1$ ). Высота

$A_1A_2$ треугольника

$A_1AC$ и высота

$B_1B_2$ треугольника

$B_1BC$ пересекаются в точке

$K$ . Докажите, что

$\angle A_1KN=\angle B_1KM$ , где

$M$ — середина отрезка

$A_2B_2$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №22. Касательные в точках

$A$ и

$B$ к окружности

$\omega$ , описанной около остроугольного неравнобедренного треугольника

$ABC$ , пересекаются в точке

$S$ . Пусть

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ . Прямая

$HA$ пересекает прямые

$CM$ и

$CS$ в точках

$M_a$ и

$S_a$ соответственно. Аналогично определены точки

$M_b$ и

$S_b$ . Докажите, что

$M_a S_b$ и

$M_b S_a$ — высоты треугольника

$M_a M_b H$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №23. Окружность с центром

$I$ , вписанная в треугольник

$ABC$ , касается сторон

$BC$ и

$AC$ в точках

$A_1$ и

$B_1$ , соответственно. На лучах

$A_1I$ и

$B_1I$ , соответственно, взяты точки

$A_2$ и

$B_2$ такие, что

$IA_2=IB_2=R$ , где

$R$ — радиус описанной окружности треугольника

$ABC$ . Докажите, что
a)

$AA_2 = BB_2 = OI$ , где

$O$ — центр описанной окружности треугольника

$ABC$ ;
b) прямые

$AA_2$ и

$BB_2$ пересекаются на описанной окружности треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №24. Окружности

$\omega$ и

$\Omega$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Пусть

$M$ — середина дуги

$AB$ окружности

$\omega$ (

$M$ лежит внутри

$\Omega$ ). Хорда

$MP$ окружности

$\omega$ пересекает

$\Omega$ в точке

$Q$ (

$Q$ лежит внутри

$\omega$ ). Пусть

$\ell_P$ — касательная к окружности

$\omega$ в точке

$P$ , а

$\ell_Q$ — касательная к окружности

$\Omega$ в точке

$Q$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых

$\ell_P$ ,

$\ell_Q$ и

$AB$ , касается

$\Omega$ . ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №25. В треугольнике

$ABC$ проведены высоты

$AD$ и

$BE$ . Биссектриса угла

$BEC$ пересекает прямую

$AD$ в точке

$M$ , а биссектриса угла

$ADC$ пересекает

$BE$ в точке

$N$ . Докажите, что

$MN \parallel AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №26. В остроугольном неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$H$ — его ортоцентр,

$M$ — середина

$AB$ ,

$N$ — середина

$CH$ . Пусть прямые

$AN$ и

$CM$ пересеклись в точке

$L$ . Доказать, что

$\angle L{{A}_{1}}C =\angle ABH$ , где

${{A}_{1}}$ — основание высоты из вершины

$A$ треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №27. Окружность

$\omega$ описана около четырехугольника

$ABCD$ . Прямые

$AB$ и

$CD$ пересекаются в точке

$K$ , а прямые

$AD$ и

$BC$ — в точке

$L$ . Прямая, проходящая через центр окружности

$\omega$ и перпендикулярная

$KL$ , пересекает прямые

$KL$ ,

$CD$ и

$AD$ в точках

$P$ ,

$Q$ и

$R$ соответственно. Докажите, что прямые

$QL$ ,

$BP$ и

$KR$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Задача №28. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$BK$ . Касательная в точке

$K$ к окружности

$\omega$ , описанной около треугольника

$ABK$ , пересекает сторону

$BC$ в точке

$L$ . Прямая

$AL$ пересекает

$\omega$ в точке

$M$ . Докажите, что прямая

$BM$ проходит через середину отрезка

$KL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №29. Дан произвольный квадратный трехчлен

$f$ с действительными коэффициентами. Существуют ли числа

$({{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}})$ — последовательные члены арифметической прогрессии такие, что все члены набора

$F=\{f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),\ldots ,f({{x}_{n}})\}$ в каком-то порядке также являются последовательными членами арифметической прогрессии (с ненулевыми разностями) если: а)

$n=3$ ; б)

$n=4$ ? ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Задача №30. К окружности

$\omega$ с центром

$O$ из точки

$S$ проведены касательные

$SA$ и

$SB$ . Точки

$C$ и

$C'$ на окружности

$\omega$ такие, что

$AC \parallel OB$ и

$CC'$ является диаметром

$\omega$ . Пусть прямые

$BC$ и

$SA$ пересекаются в точке

$K$ , а прямые

$KC'$ и

$AC$ в точке

$M$ . Докажите, что в треугольнике

$MKC$ высота из вершины

$M$ делит высоту из вершины

$C$ пополам, если угол

$BMK$ прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №31. На координатной плоскости

$xOy$ нарисована парабола

$y={{x}^{2}}$ . Пусть

$A$ ,

$B$ и

$C$ различные точки этой параболы. Определим точку

${{A}_{1}}$ , как точку пересечения прямой

$BC$ и оси

$Oy$ . Аналогично определим точки

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ . Доказать, что сумма расстоянии от точек

$A$ ,

$B$ и

$C$ до оси

$Ox$ больше суммы расстоянии от точек

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ до оси

$Ox$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №32. В равнобедренном треугольнике

$ABC$

$(BC=AC)$ на биссектрисе

$BN$ нашлась точка

$K$ такая, что

$BK=KC$ и

$KN=NA$ . Найдите углы треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №33. Пусть дано натуральное число

$n$ , а

$m$ — целое число из множества

$\{0,\text{ }1,\text{ }...\text{ },\text{ }{{n}^{2}}-1\}$ такое, что число

${{x}^{n}}+{{y}^{n}}-m$ не делится на

${{n}^{2}}$ ни при каких целых

$x$ и

$y$ . Докажите, что количество таких

$m$ не меньше

$\frac{n(n-1)}{2}$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №34. Неравнобедренный остроугольный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ . Пусть

$H$ — точка пересечения высот этого треугольника, а

$M$ — середина стороны

$AB$ . На дуге

$AB$ окружности

$\omega$ , не содержащей точку

$C$ , взяты точки

$P$ и

$Q$ такие, что

$\angle ACP=\angle BCQ<\angle ACQ$ . Пусть

$R$ и

$S$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки

$H$ на прямые

$CQ$ и

$CP$ соответственно. Докажите, что точки

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ и

$S$ лежат на одной окружности, а точка

$M$ является центром этой окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №35. На сторонах треугольника

$ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники равных площадей

$ABLK$ ,

$BCNM$ и

$CAQP$ . Пусть

$X$ ,

$Y$ и

$Z$ середины отрезков

$KQ$ ,

$LM$ и

$NP$ соответственно. Докажите, что прямые

$AX$ ,

$BY$ и

$CZ$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №36. Неравнобедренный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ с центром

$O$ . Продолжение биссектрисы

$CN$ пересекает

$\omega$ в точке

$M$ . Пусть

$MK$ — высота треугольника

$BCM$ ,

$P$ — середина отрезка

$CM$ , а

$Q$ — точка пересечения прямых

$OP$ и

$AB$ . Пусть прямая

$MQ$ во второй раз пересекает

$\omega$ в точке

$R$ , а

$T$ — точка пересечения прямых

$BR$ и

$MK$ . Докажите, что

$NT \parallel PK$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №37. Остроугольный треугольник

$ABC$

$(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке

$O$ , а

$CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча

$DA$ за точку

$A$ взята точка

$K$ , а на отрезке

$BD$ точка

$L$

$(DL > LB)$ так, что

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ . Докажите, что прямая

$KL$ проходит через середину отрезка

$AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №38. Неравнобедренный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ . Касательная к этой окружности в точке

$C$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Пусть биссектриса угла

$CDB$ пересекает отрезки

$AC$ и

$BC$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. На стороне

$AB$ взята точка

$M$ такая, что

$AK/BL=AM/BM$ . Пусть перпендикуляры из точки

$M$ к прямым

$KL$ и

$DC$ пересекают прямые

$AC$ и

$DC$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Докажите, что угол

$CQP$ в два раза меньше угла

$ACB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №39. Остроугольный треугольник

$ABC$

$(AC > BC)$ вписан в окружность с центром в точке

$O$ , а

$CD$ — диаметр этой окружности. На продолжении луча

$DA$ за точку

$A$ взята точка

$K$ , а на отрезке

$BD$ точка

$L$

$(DL > LB)$ так, что

$\angle OKD = \angle BAC$ ,

$\angle OLD = \angle ABC$ . Докажите, что прямая

$KL$ проходит через середину отрезка

$AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №40. Дан неравнобедренный треугольник

$ABC$ . Точки

$K$ и

$N$ лежат на стороне

$AC$ , а точки

$M$ и

$L$ на стороне

$BC$ так, что

$AN=CK=CL=BM.$ Пусть отрезки

$KL$ и

$MN$ пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что

$\angle RPN = \angle QPK$ , где

$R$ — середина стороны

$AB$ , а

$Q$ — середина дуги

$ACB$ окружности, описанной около треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №41. В равнобедренном прямоугольном треугольнике

$ABC$ на катетах

$AC$ и

$BC$ взяты соответственно точки

$K$ и

$L$ так, что

$AK/KC=4/1$ и

$CL/BL=3/2$ . Пусть

$KML$ также равнобедренный прямоугольный треугольник, а

$O$ — середина его гипотенузы

$MK$ . Докажите, что точка

$O$ лежит на внешней или на внутренней биссектрисе угла

$ACB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №42. К окружности с центром в точке

$O$ из точки

$S$ проведены касательные

$SA$ и

$SB$ . На окружности выбрана точка

$C$ , отличная от точки

$A$ , таким образом, что прямые

$AC$ и

$SO$ параллельны. Докажите, что точка

$O$ лежит на прямой

$BC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №43. Натуральное число

$n$ при делении на 3 дает остаток 1, а также количество его различных натуральных делителей, дающие при делении на 3 остаток 1, нечетно. Приведите пример такого числа

$n$ , у которого не менее 2017 различных натуральных делителей. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №44. Даны

$R$ и

$r$ — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника

$ABC$ , а

$I$ — центр вписанной окружности. Определим точку

${{A}_{1}}$ как точку, симметричную точке

$I$ относительно серединного перпендикуляра отрезка

$BC$ . Аналогично определим точки

${{B}_{1}}$ и

${{C}_{1}}$ . Докажите, что треугольники

$ABC$ и

${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ подобны, и найдите коэффициент подобия. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №45. К окружности с центром в точке

$O$ из точки

$A$ проведена касательная

$AB$ . Точка

$C$ лежит на окружности, отлична от точки

$B$ и

$AO\parallel BC$ . Пусть

$ABCD$ параллелограмм, и

$M$ — точка пересечения его диагоналей. Докажите, что

$AB=2MO$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №46. Пусть

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{10}}$ — перестановка цифр

$0,1,\ldots ,9$ и

$M=\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{5}} \right)\left( {{a}_{6}}+{{a}_{7}}+\ldots +{{a}_{10}} \right)$ . Чему может равняться максимальное и минимальное значение

$M$ . Для каждого найденного ответа приведите пример. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №47. Дан треугольник

$ABC$ с углами

$\angle A=40{}^\circ$ и

$\angle B=80{}^\circ$ . На отрезке

$AB$ взяты точки

$K$ и

$L$ (точка

$K$ лежит между точками

$A$ и

$L$ ) такие что

$AK=BL$ и

$\angle KCL=30{}^\circ$ . Найдите угол

$LCB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №48. Известно, что для чисел

$a,b,x,y$ выполнено неравенство

${{(ab)}^{3}}+{{(xy)}^{3}}\ge {{(ax)}^{3}}+{{(by)}^{3}}$ . Докажите, что для этих же чисел выполнено неравенство

$ab+xy\ge ax+by$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №49. На сторонах

$AB$ ,

$BC$ и

$CA$ треугольника

$ABC$ соответственно взяты точки

$N$ ,

$K$ и

$L$ так, что

$AL=BK$ и

$CN$ -- биссектриса угла

$C$ . Отрезки

$AK$ и

$BL$ пересекаются в точке

$P$ . Обозначим через

$I$ и

$J$ центры вписанных окружностей треугольников

$APL$ и

$BPK$ соответственно. Пусть

$Q$ -- точка пересечения прямых

$CN$ и

$IJ$ . Докажите, что

$IP=JQ$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №50. Дан параллелограмм

$ABCD$ . Некоторая окружность проходит через точки

$A$ и

$B$ и пересекает отрезки

$BD$ и

$AC$ во второй раз соответственно в точках

$X$ и

$Y$ , а описанная окружность треугольника

$ADX$ пересекает отрезок

$AC$ во второй раз в точке

$Z$ . Докажите, что отрезки

$AY$ и

$CZ$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №51. Диагонали трапеции

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) пересекаются в точке

$K$ . На прямой

$AD$ отмечены точки

$L$ и

$M$ так, что

$A$ лежит на отрезке

$LD$ ,

$D$ лежит на отрезке

$AM$ ,

$AL=AK$ и

$DM=DK$ . Докажите, что прямые

$CL$ и

$BM$ пересекаются на биссектрисе угла

$BKC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №52. В равнобокой трапеции

$ABCD$ точка

$O$ — середина основания

$AD$ . Окружность с центром в точке

$O$ и радиусом

$BO$ касается прямой

$AB$ . Пусть отрезок

$AC$ пересекает эту окружность в точке

$K$ (

$C \ne K$ ), и пусть

$M$ такая точка, что

$ABCM$ — параллелограмм. Описанная окружность треугольника

$CMD$ пересекает отрезок

$AC$ в точке

$L$

$(L \ne C)$ . Докажите, что

$AK=CL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №53. На боковой стороне

$CD$ трапеции

$ABCD$ нашлась точка

$M$ такая, что

$BM=BC$ . Пусть прямые

$BM$ и

$AC$ пересекаются в точке

$K$ , а прямые

$DK$ и

$BC$ — в точке

$L$ . Докажите, что углы

$BML$ и

$DAM$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №54. Диагонали вписанного выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . Пусть

$\ell$ — прямая, делящая угол

$AOB$ пополам. Обозначим через

$(\ell_1,\ell_2,\ell_3)$ невырожденный треугольник, образованный прямыми

$\ell_1,\ell_2,\ell_3$ . Пусть

$\Delta_1=(\ell,AB,CD)$ и

$\Delta_2=(\ell,AD,BC)$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$\Delta_1$ и

$\Delta_2$ касаются друг друга. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №55. В остроугольном треугольнике

$ABC$ на сторонах

$AB$ ,

$BC$ ,

$AC$ соответственно взяты точки

$H$ ,

$L$ ,

$K$ так, что

$CH \perp AB$ ,

$HL \parallel AC$ ,

$HK \parallel BC$ . Пусть

$P$ и

$Q$ — основания высот треугольника

$HBL$ , проведенные из вершин

$H$ и

$B$ соответственно. Докажите, что основания высот треугольника

$AKH$ , проведенные из вершин

$A$ и

$H$ , лежат на прямой

$PQ$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №56. Продолжение медианы

$CM$ треугольника

$ABC$ пересекает описанную около него окружность

$\omega$ в точке

$N$ . На лучах

$CA$ и

$CB$ соответственно отмечены точки

$P$ и

$Q$ так, что

$PM \parallel BN$ и

$QM \parallel AN$ . На отрезках

$PM$ и

$QM$ соответственно отмечены точки

$X$ и

$Y$ так, что прямые

$PY$ и

$QX$ касаются

$\omega$ . Отрезки

$PY$ и

$QX$ пересекаются в точке

$Z$ . Докажите, что четырехугольник

$MXZY$ описанный. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №57. Для неотрицательных чисел

$x$ ,

$y$ докажите неравенство

$\sqrt{x^{2}-x+1}\sqrt{y^{2}-y+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}\sqrt{y^{2}+y+1}\geq 2(x+y).$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада

Задача №58. Дан вписанный выпуклый пятиугольник

$ABCDE$ . Окружность с центром в точке

$E$ и радиусом

$AE$ пересекает отрезки

$AC$ и

$AD$ в

$X$ и

$Y$ соответственно, а окружность с центром в точке

$C$ радиусом

$BC$ пересекает отрезки

$BE$ и

$BD$ в точках

$Z$ и

$T$ соответственно. Прямые

$XY$ и

$ZT$ пересекаются в точке

$F$ . Докажите, что

$DF$ и

$EC$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №59. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ точка

$D$ симметрична точке

$C$ относительно гипотенузы

$AB$ . Пусть

$M$ — произвольная точка отрезка

$AC$ , а

$P$ — основание перпендикуляра из точки

$C$ на прямую

$BM$ . Точка

$H$ — середина отрезка

$CD$ . На отрезке

$CH$ (внутри угла

$HPB$ ) нашлась такая точка

$N$ , что

$\angle DPH = \angle NPB$ . Докажите, что точки

$M$ ,

$P$ ,

$N$ и

$D$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №60. Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$H$ . На отрезке

$C_1H$ , где

$CC_1$ — высота треугольника, отмечена точка

$K$ . Точки

$L$ и

$M$ — основания перпендикуляров из точки

$K$ на прямые

$AC$ и

$BC$ соответственно. Прямые

$AM$ и

$BL$ пересекаются в точке

$N$ . Докажите, что

$\angle ANK=\angle HNL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №61. На отрезке

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$M$ . Пусть

$I$ ,

$K$ ,

$L$ — соответственно центры вписанных окружностей

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ ,

$\omega_3$ треугольников

$ABC$ ,

$ABM$ ,

$ACM$ . Общая внешняя касательная к окружностям

$\omega_2$ и

$\omega_3$ , отличная от прямой

$BC$ , пересекает отрезок

$AM$ в точке

$J$ . Известно, что точки

$I$ и

$J$ не совпадают и лежат внутри

$\triangle AKL$ . Докажите, что в треугольнике

$AKL$ точки

$I$ и

$J$ изогонально сопряжены. (Внутренние точки

$P$ и

$P'$ треугольника

$ABC$ называются изогонально сопряжёнными, если

$\angle ABP=\angle CBP'$ ,

$\angle BAP = \angle CAP'$ ,

$\angle BCP=\angle ACP'$ .) ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №62. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$I$ — центр вписанной окружности, а

$CN$ — биссектриса. Прямая

$CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$M$ . Прямая

$\ell$ параллельна прямой

$AB$ и касается вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Точка

$R$ на прямой

$\ell$ такова, что

$CI \perp IR$ . Описанная окружность треугольника

$MNR$ вторично пересекает прямую

$IR$ в точке

$S$ . Докажите, что

$AS=BS$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №63. На медиане

$CM$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$N$ так, что

$MN \cdot MC = AB^2/4$ . Прямые

$AN$ и

$BN$ вторично пересекают описанную окружность

$\triangle ABC$ в точках

$P$ и

$Q$ , соответственно.

$R$ — точка отрезка

$PQ$ , ближайшая к

$Q$ , такая что

$\angle NRC = \angle BNC$ ;

$S$ — точка отрезка

$PQ$ , ближайшая к

$P$ , такая что

$\angle NSC = \angle ANC$ . Докажите, что

$RN = SN$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №64. На медиане

$CM$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$N$ так, что

$MN \cdot MC = AB^2/4$ . Прямые

$AN$ и

$BN$ вторично пересекают описанную окружность

$\triangle ABC$ в точках

$P$ и

$Q$ , соответственно.

$R$ — точка отрезка

$PQ$ , ближайшая к

$Q$ , такая что

$\angle NRC = \angle BNC$ ;

$S$ — точка отрезка

$PQ$ , ближайшая к

$P$ , такая что

$\angle NSC = \angle ANC$ . Докажите, что

$RN = SN$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №65. Треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ . На сторонах

$AB, BC, CA$ отмечены точки

$K, L, M$ , соответственно, причем

$CM \cdot CL = AM \cdot BL$ . Луч

$LK$ пересекает прямую

$AC$ в точке

$P$ . Общая хорда окружности

$\omega$ и описанной окружности треугольника

$KMP$ пересекает отрезок

$AM$ в точке

$S$ . Докажите, что

$SK \parallel BC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №66. Дан выпуклый вписанный шестиугольник

$ABCDEF$ , в котором

$BC=EF$ и

$CD=AF$ . Диагонали

$AC$ и

$BF$ пересекаются в точке

$Q$ , а диагонали

$EC$ и

$DF$ — в точке

$P$ . На отрезках

$DF$ и

$BF$ отмечены точки

$R$ и

$S$ соответственно так, что

$FR=PD$ и

$BQ=FS$ . Отрезки

$RQ$ и

$PS$ пересекаются в точке

$T$ . Докажите, что прямая

$TC$ делит диагональ

$DB$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №67. В треугольнике

$ABC$

$(\angle C = 90^\circ)$ на катете

$BC$ отмечены точки

$K$ и

$L$ такие, что

$\angle CAK = \angle KAL = \angle LAB.$ На гипотенузе

$AB$ отмечена точка

$M$ такая, что

$ML = KL.$ Докажите, что перпендикуляр из точки

$C$ на прямую

$AK$ не делит отрезок

$ML$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №68. Дан треугольник

$ABC$ . На стороне

$AB$ взята точка

$K$ , а на стороне

$AC$ взята точка

$L$ таким образом, что

$\angle ACB+\angle AKL=50{}^\circ$ и

$\angle ABC+\angle ALK=70{}^\circ$ . Чему может равняться угол

$BAC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №69. Диагонали трапеции

$ABCD$

$(AD \parallel BC)$ пересекаются в точке

$K.$ Внутри треугольника

$ABK$ нашлась такая точка

$M,$ что

$\angle MBC = \angle MAD,$

$\angle MCB = \angle MDA.$ Докажите, что прямая

$MK$ параллельна основаниям трапеции. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №70. Продолжения сторон

$AB$ и

$CD$ выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ , а диагонали

$AC$ и

$BD$ — в точке

$Q$ . Точки

$M$ и

$N$ — середины диагоналей

$AC$ и

$BD$ соответственно. Описанные окружности треугольников

$BCQ$ и

$MNQ$ пересекаются в точке

$T$ (

$T\ne Q$ ). Докажите, что если

$\angle APD =90^\circ$ , то прямая

$PT$ делит отрезок

$MN$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №71. Треугольник

$ABC$ (

$AC > BC$ ) вписан в окружность

$\omega$ . Биссектриса

$CN$ этого треугольника пересекает

$\omega$ в точке

$M$ (

$M\ne C$ ). На отрезке

$BN$ отмечена произвольная точка

$T$ . Пусть

$H$ — ортоцентр треугольника

$MNT$ . Описанная окружность треугольника

$MNH$ пересекает

$\omega$ в точке

$R$ (

$R\ne M$ ). Докажите, что

$\angle ACT = \angle BCR$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №72. На стороне

$AC$ треугольника

$ABC$ нашлась такая точка

$D$ , что

$BC=DC$ . Пусть

$J$ — центр вписанной окружности треугольника

$ABD$ . Докажите, что одна из касательных из точки

$J$ ко вписанной окружности треугольника

$ABC$ параллельна прямой

$BD$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №73. В треугольнике

$ABC$ , точка

$M$ — середина стороны

$AB$ . На отрезке

$AC$ отмечена точка

$B_1$ такая, что

$CB = CB_1$ . Окружности

$\omega$ и

$\omega_1$ , описанные около треугольников

$ABC$ и

$BMB_1$ , соответственно, пересекаются во второй раз в точке

$K$ . Точка

$Q$ — середина дуги

$ACB$ окружности

$\omega$ . Прямые

$B_1Q$ и

$BC$ пересекаются в точке

$E$ . Докажите, что прямая

$KC$ делит отрезок

$B_1E$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №74. В окружности

$\omega$ диаметр

$AB$ и хорда

$CD$ перпендикулярны. Пусть

$M$ любая точка отрезка

$AC$ . Точка

$P$ -- основание перпендикуляра из точки

$C$ на прямую

$BM$ . Пусть окружность

$\omega_1$ , описанная около треугольника

$MPD$ , пересекает описанную окружность треугольника

$CPB$ во второй раз в точке

$Q$ (точки

$P$ и

$Q$ лежат по разные стороны от прямой

$AB$ ). Прямая

$CD$ вторично пересекает

$\omega_1$ в точке

$N$ . Докажите, что

$\angle CQN = \angle BPN$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №75. Дан равнобедренный треугольник

$ABC$ с тупым углом

$C$ . Точка

$K$ взята на продолжении стороны

$AC$ (за точку

$C$ ) так, что

$\angle KBC = \angle ABC$ . Обозначим через

$S$ точку пересечения биссектрис углов

$\angle BKC$ и

$\angle ACB$ . Прямые

$AB$ и

$KS$ пересекаются в точке

$L$ , прямые

$BS$ и

$CL$ — в точке

$M$ . Докажите, что прямая

$KM$ проходит через середину отрезка

$BC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №76. В параллелограмме

$ABCD$ с острым углом

$A$ на отрезке

$AD$ отмечена точка

$N$ , а на отрезке

$CN$ — точка

$M$ так, что

$AB=BM=CM$ . Точка

$K$ симметрична точке

$N$ относительно прямой

$MD$ . Прямая

$MK$ пересекает отрезок

$AD$ в точке

$L$ . Пусть

$P$ — общая точка описанных окружностей треугольников

$AMD$ и

$CNK$ , причем точки

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$MK$ . Докажите, что

$\angle CPM=\angle DPL$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №77. В треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ , а

$I$ — центр вписанной окружности. Точка

$A_1$ симметрична точке

$A$ относительно прямой

$BI$ , а точка

$B_1$ симметрична точке

$B$ относительно прямой

$AI$ . Пусть

$N$ — середина отрезка

$A_1B_1$ . Докажите, что

$IN > IM$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №78. На стороне

$AB$ треугольника

$ABC$ с углом в

$100 ^\circ$ при вершине

$C$ взяты точки

$P$ и

$Q$ такие, что

$AP = BC$ и

$BQ = AC$ . Пусть

$M$ ,

$N$ ,

$K$ — середины отрезков

$AB$ ,

$CP$ ,

$CQ$ соответственно. Найдите угол

$NMK$ . ( М. Кунгожин, методкомиссия )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №79. В окружность

$\omega$ вписан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ . Лучи

$AB$ и

$DC$ пересекаются в точке

$K$ . На диагонали

$BD$ отмечена точка

$L$ так, что

$\angle BAC = \angle DAL$ . На отрезке

$KL$ отметили точку

$M$ так, что

$CM \parallel BD$ . Докажите, что прямая

$BM$ касается окружности

$\omega$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №80. Касательная в точке

$C$ к окружности

$\Omega$ , описанной около неравнобедренного треугольника

$ABC$ , пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Через точку

$D$ проведена прямая, пересекающая отрезки

$AC$ и

$BC$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. На отрезке

$AB$ отметили точки

$M$ и

$N$ так, что

${AC \parallel NL}$ и

${BC \parallel KM}$ . Пусть

$NL$ и

$KM$ пересеклись в точке

$P$ , лежащей внутри треугольника

$ABC$ . Прямая

$CP$ во второй раз пересекает окружность

$\omega$ , описанную около треугольника

$MNP$ , в точке

$Q$ . Докажите, что прямая

$DQ$ касается

$\omega$ . ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №81. Вневписанная окружность треугольника

$ABC$ касается стороны

$AB$ в точке

$M$ , а продолжений сторон

$AC$ и

$BC$ — в точках

$N$ и

$K$ соответственно. На отрезке

$NK$ выбраны точки

$P$ и

$Q$ так, что

$AN=AP$ и

$BK=BQ$ . Докажите, что радиус описанной окружности треугольника

$MPQ$ равен радиусу вписанной окружности треугольника

$ABC$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7) олимпиада

Задача №82. В окружность

$\omega$ с центром

$O$ вписан такой треугольник

$ABC$ , в котором

$\angle C > 90^\circ$ и

$AC>BC$ . Касательная прямая к

$\omega$ в точке

$C$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Пусть

$\Omega$ — описанная окружность треугольника

$AOB$ . Прямые

$OD$ и

$AC$ повторно пересекают

$\Omega$ в точках

$E$ и

$F$ соотвественно. Прямые

$OF$ и

$CE$ пересекаются в точке

$T$ , а прямые

$OD$ и

$BC$ — в точке

$K$ . Докажите, что точки

$O$ ,

$T$ ,

$B$ ,

$K$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №83. В окружность

$\omega$ с центром

$O$ вписан такой треугольник

$ABC$ , в котором

$\angle C > 90^\circ$ и

$AC>BC$ . Касательная прямая к

$\omega$ в точке

$C$ пересекает прямую

$AB$ в точке

$D$ . Пусть

$\Omega$ — описанная окружность треугольника

$AOB$ . Прямые

$OD$ и

$AC$ повторно пересекают

$\Omega$ в точках

$E$ и

$F$ соотвественно. Прямые

$OF$ и

$CE$ пересекаются в точке

$T$ , а прямые

$OD$ и

$BC$ — в точке

$K$ . Докажите, что точки

$O$ ,

$T$ ,

$B$ ,

$K$ лежат на одной окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №84. Окружности

$\Omega$ и

$\Gamma$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Линия центров этих окружностей пересекает

$\Omega$ и

$\Gamma$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой

$AB$ , причём точка

$Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от

$AB$ взята окружность

$\delta$ , касающаяся отрезка

$AB$ в точке

$D$ и

$\Gamma$ в точке

$T$ . Прямая

$PD$ вторично пересекает

$\delta$ и

$\Omega$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Докажите, что

$\angle QTK=\angle DTL$ . ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №85. В остроугольном треугольнике

$ABC$ проведена высота

$AD$ . Пусть

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ . Окружность

$\Omega$ проходит через точки

$A$ и

$B$ , и касается прямой

$AC$ . Пусть

$BE$ — диаметр

$\Omega$ . Прямые

$BH$ и

$AH$ во второй раз пересекают

$\Omega$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Прямые

$EK$ и

$AB$ пересекаются в точке

$T$ . Докажите, что

$\angle BDK=\angle BLT$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №86. В остроугольном треугольнике

$ABC$ проведена высота

$AD$ . Пусть

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ . Окружность

$\Omega$ проходит через точки

$A$ и

$B$ , и касается прямой

$AC$ . Пусть

$BE$ — диаметр

$\Omega$ . Прямые

$BH$ и

$AH$ во второй раз пересекают

$\Omega$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Прямые

$EK$ и

$AB$ пересекаются в точке

$T$ . Докажите, что

$\angle BDK=\angle BLT$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №87. Дана неравнобокая трапеция

$ABCD$ (

$AB \parallel CD$ ). Некоторая окружность проходит через точки

$A$ и

$B$ , и пересекает боковые стороны

$AD$ и

$BC$ в точках

$E$ и

$F$ , соответственно. Отрезки

$AF$ и

$BE$ пересекаются в точке

$G$ , а описанные окружности треугольников

$ADG$ и

$BCG$ пересекаются во второй раз в точке

$H$ . Докажите, что если

$DG=CG$ , то

$H$ является точкой пересечения высот треугольника

$ABG$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №88. Касательная к окружности, описанной около треугольника

$ABC$ , проведенная в точке

$C$ , пересекает прямую

$AB$ точке

$D$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного биссектрисами углов

$CAB$ ,

$CBA$ и

$CDA$ , касается прямой

$CD$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №89.

$O$ — центр описанной около остроугольного треугольника

$ABC$ окружности,

$CH$ — его высота. Точка

$K$ симметрична

$H$ относительно

$AC$ ,

$L$ симметрична

$H$ относительно

$BC$ .

$CO$ пересекает

$HK$ и

$HL$ в точках

$P$ и

$Q$ , соответственно. Окружность, описанная около треугольника

$PQH$ , вторично пересекает окружности, описанные около треугольников

$KLP$ и

$KLQ$ , в точках

$P_1$ и

$Q_1$ , соответственно. Докажите, что точки

$C$ ,

$P_1$ и

$Q_1$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №90. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ ,

$I$ — центр вписанной окружности, а

$J$ — середина дуги

$AB$ окружности, описанной около

$\triangle ABC$ , не содержащей точку

$C$ . К окружности с центром

$J$ и радиусом

$JM$ провели касательные

$IP$ и

$IQ$ (

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$CI$ ). Описанные окружности треугольников

$APJ$ и

$BQJ$ вторично пересекаются в точке

$R$ . Докажите, что

$R$ лежит на прямой

$AB$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №91. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ ,

$I$ — центр вписанной окружности, а

$J$ — середина дуги

$AB$ окружности, описанной около

$\triangle ABC$ , не содержащей точку

$C$ . К окружности с центром

$J$ и радиусом

$JM$ провели касательные

$IP$ и

$IQ$ (

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$CI$ ). Описанные окружности треугольников

$APJ$ и

$BQJ$ вторично пересекаются в точке

$R$ . Прямые

$IP$ и

$IQ$ пересекают прямую

$AB$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Пусть

$MX_1$ и

$MY_1$ — биссектрисы треугольников

$XMJ$ и

$YMJ$ соответственно. Докажите, что точки

$X_1, Y_1$ и

$R$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение олимпиада

Задача №92. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$M$ — середина стороны

$AB$ ,

$I$ — центр вписанной окружности, а

$J$ — середина дуги

$AB$ окружности, описанной около

$\triangle ABC$ , не содержащей точку

$C$ . К окружности с центром

$J$ и радиусом

$JM$ провели касательные

$IP$ и

$IQ$ (

$A$ и

$P$ лежат по одну сторону от прямой

$CI$ ). Описанные окружности треугольников

$APJ$ и

$BQJ$ вторично пересекаются в точке

$R$ . Прямые

$IP$ и

$IQ$ пересекают прямую

$AB$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Пусть

$MX_1$ и

$MY_1$ — биссектрисы треугольников

$XMJ$ и

$YMJ$ соответственно. Докажите, что точки

$X_1, Y_1$ и

$R$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2) олимпиада