Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс
В треугольнике ABC из наибольшего угла C проведена высота CH. Отрезки HM и HN — высоты треугольников ACH и BCH соответственно, а HP и HQ — биссектрисы треугольников AMH и BNH. Пусть точка R — основание перпендикуляра из точки H на прямую PQ. Докажите, что R — точка пересечения биссектрис треугольника MNH.
(
М. Кунгожин
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Заметим, что ∠CHM=∠HAC. Обозначим эти углы через α. Тогда в треугольнике AHP внешний угол при вершине P состоит из угла α и половины угла AHM, и угол ∠CHP состоит из тех же углов. Следовательно, ∠CHP=∠CPH или CH=CP. Аналогично CH=CQ. Значит, можно провести окружность с центром в точке C радиусом CH. Из того, что четырехугольник CMHN вписанный и точки P, M, R и H лежат на одной окружности с диаметром PH, следует, что ∠RMH=∠RPH=∠NCH/2=∠NMH. Следовательно, угол RMH в два раза меньше угла NMH, то есть MR делит угол NMH пополам. Аналогично, NR делит угол MNH пополам, то есть R — точка пересечения биссектрис треугольника MNH.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.