Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс


В треугольнике ABC из наибольшего угла C проведена высота CH. Отрезки HM и HN — высоты треугольников ACH и BCH соответственно, а HP и HQ — биссектрисы треугольников AMH и BNH. Пусть точка R — основание перпендикуляра из точки H на прямую PQ. Докажите, что R — точка пересечения биссектрис треугольника MNH. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что CHM=HAC. Обозначим эти углы через α. Тогда в треугольнике AHP внешний угол при вершине P состоит из угла α и половины угла AHM, и угол CHP состоит из тех же углов. Следовательно, CHP=CPH или CH=CP. Аналогично CH=CQ. Значит, можно провести окружность с центром в точке C радиусом CH. Из того, что четырехугольник CMHN вписанный и точки P, M, R и H лежат на одной окружности с диаметром PH, следует, что RMH=RPH=NCH/2=NMH. Следовательно, угол RMH в два раза меньше угла NMH, то есть MR делит угол NMH пополам. Аналогично, NR делит угол MNH пополам, то есть R — точка пересечения биссектрис треугольника MNH.