15-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2019 год

Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $N$. На лучах $CA$ и $CB$ соответственно отмечены точки $P$ и $Q$ так, что $PM \parallel BN$ и $QM \parallel AN$. На отрезках $PM$ и $QM$ соответственно отмечены точки $X$ и $Y$ так, что прямые $PY$ и $QX$ касаются $\omega$. Отрезки $PY$ и $QX$ пересекаются в точке $Z$. Докажите, что четырехугольник $MXZY$ описанный. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Докажем что $PD=PM, \ QM=QE$ $(1)$ так как $PM || BN$ то $\angle AMP = \angle ABN = \angle PCN$ треугольники $AMP, PCN$ подобны откуда $\dfrac{AP}{PM} = \dfrac{PM}{PC}$ или $PM^2 = AP \cdot PC$ но с другой стороны $PD^2 = AP \cdot PC$ (так как касательная) откуда $PM=PD$ аналогично $QM=QE$, если в $MXYZ$ можно вписать окружность, пусть вписанная окружность касается $PZ,QZ,QY,PX$ в точках $V,J, R,S$ тогда по отрезкам касательных $PZ=PY+YV+ZV=PM+MS+ZV$ и $PZ=QX+XJ+ZJ=QM+RM+ZJ$ откуда $PZ-QZ=PM+MS+ZV-QM-RM-ZJ=PM-QM$ используя $(1)$ получаем $PZ-QZ=PD+PD-(PD+QE) = PD-QE = PM-QM$ то есть действительно вписанный.

Как следствие $PQ || AB$ и $ PX+QX=PY+QY$

Выше показано почему $PD=PM$ и $QE=QM$. (Тут $D-$ точка касания отрезка $PY$, аналогично с $E$).

Пусть $F-$ точка пересечения биссектрис $\angle{MQZ}$ и $\angle{MPZ}$

Из равенство $PD=PM$ следует, что $FD=FM$(потому что лежит на серединном перпендикуляре) и аналогично $FE=FM$ тогда $F-$ центр описанной $MED$

Поймем, что $FZ \perp ED$ поскольку $FD=FE$ и $ZE=ZD$(ну это сразу следует с того, что эти оба отрезка касательные, а дальше перпендикулярность выходит из равенство треугольников).

Но для равнобедренного треугольника (в нашем случае $EZD$) и высота и биссектриса это одна и та же прямая, значит $ZF-$биссектриса $\angle{EZD}$ т.е. внешняя биссектриса углов $\angle{XZP}; \angle{YZQ}$. Значит $F$ центр вневписанной $QYZ;PXZ$ т.е. эти вневписанные окружности c центром $F$ касаются прямых $QZ;ZY$ и $PZ;XZ$. Но существует такая единственная окружность. Значит вневписанная $QYZ$ и $PXZ$ это одна и та же окружность. Отсюда легко следует требуемое.