15-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2019 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.  Докажите, что существует по крайней мере $100!$ способов разбить число $100!$ на сумму слагаемых из множества $\{1!, 2!, 3!, \ldots, 99! \}$. (Разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми; любое слагаемое можно использовать несколько раз. Напомним, что $n!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n.$) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Найдите наибольшее действительное число $C$ такое, что для любых попарно различных положительных действительных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_{2019}$ выполнено неравенство $\dfrac{{{a_1}}}{{|{a_2} - {a_3}|}} + \dfrac{{{a_2}}}{{|{a_3} - {a_4}|}} + \ldots + \dfrac{{{a_{2018}}}}{{|{a_{2019}} - {a_1}|}} + \dfrac{{{a_{2019}}}}{{|{a_1} - {a_2}|}} > C.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6)

---

Задача №3.  Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около него окружность $\omega$ в точке $N$. На лучах $CA$ и $CB$ соответственно отмечены точки $P$ и $Q$ так, что $PM \parallel BN$ и $QM \parallel AN$. На отрезках $PM$ и $QM$ соответственно отмечены точки $X$ и $Y$ так, что прямые $PY$ и $QX$ касаются $\omega$. Отрезки $PY$ и $QX$ пересекаются в точке $Z$. Докажите, что четырехугольник $MXZY$ описанный. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AC=BC$. На стороне $AC$ выбрана точка $D$. Окружность $S_1$ с радиусом $R$ и центром $O_1$ касается отрезка $AD$ и продолжений $BA$ и $BD$ за точки $A$ и $D$ соответственно. Окружность $S_2$ с радиусом $2R$ и центром $O_2$ касается отрезка $DC$ и продолжений $BD$ и $BC$ за точки $D$ и $C$ соответственно. Пусть касательная к описанной окружности треугольника $BO_1O_2$ в точке $O_2$ пересекает прямую $BA$ в точке $F$. Докажите, что $O_1F=O_1O_2$. ( И. Воронович )
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $n > 1$ — натуральное число. Дана функция $f:I \to \mathbb{Z},$ где $I$ — множество всех целых чисел, взаимно простых с $n$. ($\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел). Натуральное число $k$ называется периодом функции $f$ если $f(a)=f(b)$ для любых $a,b\in I$ таких, что $a \equiv b \pmod k$. Известно, что $n$ является периодом функции $f.$ Докажите, что минимальный период функции $f$ делит все ее периоды.
   Пример. Когда $n=6,$ функция $f$ с периодом 6 полностью определяется своими значениями $f(1)$ и $f(5).$ Если $f(1)=f(5),$ то функция имеет минимальный период $P_{\min}=1$, а если $f(1)\ne f(5),$ то $P_{\min}=3.$ ( Е. Байсалов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  С многочленом третьей степени разрешается неограниченное число раз проделывать следующие две операции:
   (i) переставлять его коэффициенты, включая нулевые, в обратном порядке (так, из многочлена $x^3-2x^2-3$ можно получить многочлен $-3x^3-2x+1$);
   (ii) заменять многочлен $P(x)$ на многочлен $P(x+1)$.
   Можно ли получить из многочлена $x^3-2$ многочлен $x^3-3x^2+3x-3$? ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

---