15-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2019 год

Найдите наибольшее действительное число $C$ такое, что для любых попарно различных положительных действительных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_{2019}$ выполнено неравенство $\dfrac{{{a_1}}}{{|{a_2} - {a_3}|}} + \dfrac{{{a_2}}}{{|{a_3} - {a_4}|}} + \ldots + \dfrac{{{a_{2018}}}}{{|{a_{2019}} - {a_1}|}} + \dfrac{{{a_{2019}}}}{{|{a_1} - {a_2}|}} > C.$ ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Я негр ЛГБТ, если вы удалите мое решение то вы не уважаете мое решение. Тогда это будет расизм, сексизм, гомофобия и бодишэйминг. И так, очевиден ответ 2019. Так как олимпиада 2019-го года.

Расписка и решение тема

Deeesshh

\[ \sum \limits_{i=1}^{2019} \dfrac{a_i}{| a_{i+1} - a_{i+2} |} > \sum \limits_{i=1}^{2019} \dfrac{a_i}{\max\{a_{i+1},a_{i+2}\}} \quad \quad ( \ a_{i+2019}=a_i\ ) \]

Пусть$:$ $\ f(i) = \max \{ a_{i+1}, a_{i+2} \}. \ $ Составим граф $\ a_i \rightarrow f(i). \ $ Заметим пару вещей$:$

$\quad \mathbb{(1)} \ $ В графе есть цикл. Пусть его длинна $\ L.$

$\quad \mathbb{(2)} \ $ Индекс повышается пока не дойдет до 2018 или 2019.

$\quad \mathbb{(3)} \ $ Индекс повышается либо на 1 либо на 2.

Возьмем цикл минимальной длинны.

\[ \min \{ L \} = \min \{x+y\}; \quad \quad 2x+1y\geq 2019\ | \ x,y \in \mathbb{Z}^+\]

Возьмем цикл как: $\ b_1 \rightarrow b_2 \dots \rightarrow b_{x+y} \rightarrow b_1:$

\[ \sum \limits_{i=1}^{2019} \dfrac{a_i}{\max | a_{i+1}, a_{i+2} |} \geq \sum \limits_{j=1}^{x+y} \dfrac{b_j}{b_{j+1}} \geq 1010 \quad ( \ AM \geq GM \ )\]

Приведем пример чтобы: $C \to 1010(\ \epsilon \to 0 \ ):$

\[ a_1 = 1+ \epsilon, \ \ a_2 = \epsilon, \ \ a_3 = 1+ 2\epsilon,\ \ a_4 = 2\epsilon, \ \ \dots, \ \ a_{2017} = 1+1009\epsilon,\ \ a_{2018} = \epsilon^2,\ \ a_{2019} = 1\]

ital_AM-GM и граф_ital

Я знаю про функцию italic и частенько ее использую, но не пойму в чем проблема.