қазақша
русскийИ. Воронович
Задача №1. Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ для любых вещественных $x$ и $y$. ( И. Воронович )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №2. Найдите все вещественные $a$, при которых существует функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такая, что $f(x-f(y))=f(x)+a[y]$ для всех вещественных $x$ и $y$ ($[y]$ обозначает целую часть числа $y$). ( И. Воронович )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №3. Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AC=BC$. На стороне $AC$ выбрана точка $D$. Окружность $S_1$ с радиусом $R$ и центром $O_1$ касается отрезка $AD$ и продолжений $BA$ и $BD$ за точки $A$ и $D$ соответственно. Окружность $S_2$ с радиусом $2R$ и центром $O_2$ касается отрезка $DC$ и продолжений $BD$ и $BC$ за точки $D$ и $C$ соответственно. Пусть касательная к описанной окружности треугольника $BO_1O_2$ в точке $O_2$ пересекает прямую $BA$ в точке $F$. Докажите, что $O_1F=O_1O_2$. ( И. Воронович )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №4. Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию $f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых $x$ и $y$. ( И. Воронович )
комментарий/решение(1) олимпиада