қазақша
русский13-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2017 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Неравнобедренный остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность
$\omega $. Пусть $H$ — точка пересечения высот этого треугольника, а $M$ —
середина стороны $AB$. На дуге $AB$ окружности $\omega $, не содержащей точку
$C$, взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle ACP=\angle BCQ<\angle ACQ$.
Пусть $R$ и $S$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $H$
на прямые $CQ$ и $CP$ соответственно. Докажите, что точки $P$, $Q$, $R$ и $S$
лежат на одной окружности, а точка $M$ является центром этой окружности.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что $(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ для любых вещественных $x$ и $y$.
(
И. Воронович
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Прямоугольник на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 разбит
на фигурки домино (прямоугольники, состоящие из двух клеток с общей стороной).
Докажите, что все вершины клеток на границе и внутри прямоугольника можно
раскрасить в три цвета так, чтобы для каждых двух вершин, находящихся
на расстоянии 1, выполнялось следующее условие: эти вершины разного цвета,
если соединяющий их отрезок лежит на границе одной из фигурок домино,
и одинакового цвета в противном случае.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Первые $k$ членов $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ последовательности $(a_n)$ —
различные натуральные числа, а при $n > k$ число $a_n$ — наименьшее натуральное
число, не представимое в виде суммы нескольких (возможно, одного) из чисел
$a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$. Докажите, что $a_n=2a_{n-1}$ при всех достаточно
больших $n$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Для каждого натурального $k$ обозначим через $C(k)$ сумму
всех различных простых делителей числа $k$. Например, $C(1)=0$,
$C(2)=2$, $C(45)=8$. Найдите все натуральные $n$, для которых
$C(2^n+1)=C(n)$.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. В пространстве даны правильный тетраэдр $ABCD$ и произвольные точки $M$
и $N$. Докажите неравенство
$$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$$
(Тетраэдр называется правильным, если все шесть его рёбер равны.)
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)