13-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2017 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Неравнобедренный остроугольный треугольник

$ABC$ вписан в окружность

$\omega$ . Пусть

$H$ — точка пересечения высот этого треугольника, а

$M$ — середина стороны

$AB$ . На дуге

$AB$ окружности

$\omega$ , не содержащей точку

$C$ , взяты точки

$P$ и

$Q$ такие, что

$\angle ACP=\angle BCQ<\angle ACQ$ . Пусть

$R$ и

$S$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки

$H$ на прямые

$CQ$ и

$CP$ соответственно. Докажите, что точки

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ и

$S$ лежат на одной окружности, а точка

$M$ является центром этой окружности. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Задача №2. Найдите все функции

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что

$(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ для любых вещественных

$x$ и

$y$ . ( И. Воронович )
комментарий/решение(4)

Задача №3. Прямоугольник на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 разбит на фигурки домино (прямоугольники, состоящие из двух клеток с общей стороной). Докажите, что все вершины клеток на границе и внутри прямоугольника можно раскрасить в три цвета так, чтобы для каждых двух вершин, находящихся на расстоянии 1, выполнялось следующее условие: эти вершины разного цвета, если соединяющий их отрезок лежит на границе одной из фигурок домино, и одинакового цвета в противном случае. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Первые

$k$ членов

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_k$ последовательности

$(a_n)$ — различные натуральные числа, а при

$n > k$ число

$a_n$ — наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы нескольких (возможно, одного) из чисел

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_{n-1}$ . Докажите, что

$a_n=2a_{n-1}$ при всех достаточно больших

$n$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Для каждого натурального

$k$ обозначим через

$C(k)$ сумму всех различных простых делителей числа

$k$ . Например,

$C(1)=0$ ,

$C(2)=2$ ,

$C(45)=8$ . Найдите все натуральные

$n$ , для которых

$C(2^n+1)=C(n)$ . ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)

Задача №6. В пространстве даны правильный тетраэдр

$ABCD$ и произвольные точки

$M$ и

$N$ . Докажите неравенство

$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$ (Тетраэдр называется правильным, если все шесть его рёбер равны.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты