қазақша
русский13-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2017 жыл
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы $\omega $ шеңберіне іштей сызылған. $H$ нүктесі осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы болсын. $\omega $-ның $C$ нүктесін қамтымайтын $AB$ доғасынан $\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері алынған. $R$ және $S$ нүктелері, $H$ нүктесінен сәйкесінше $CQ$ және $CP$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары болсын. $P$, $Q$, $R$ және $S$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын, және $M$ нүктесі осы шеңбердің центрі болатынын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Кез келген нақты $x$ және $y$ сандары үшін $(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
(
И. Воронович
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. Бірлік шаршылардан құралған тор қағазда доминоларға (ортақ қабырғасы бар екі шаршыдан құралған тіктөртбұрыш фигура) бөліктелген тіктөртбұрыш берілген. Тіктөртбұрыштың шекарасында және ішінде жатқан шаршылардың төбесі болатын барлық төбелерді, арақашықтығы 1-ге тең болатын кез келген екі төбе үшін келесі шарт орындалатындай үш түске бояуға болатынын дәлелдеңіз: осы екі төбені қосатын кесінді доминолардың біреуінің шекарасында жатса, онда осы төбелер әртүрлі түске боялған, және кері жағдайда бірдей түске боялған.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $(a_n)$ тізбегінің алғашқы $k$ мүшесі $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ — әртүрлі натурал сандар, ал $n > k$ болған жағдайда, $a_n$ саны $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n-1}$ сандарының кейбіреулерінің (мүмкін тек біреуінің) қосындысы ретінде келтірілмейтін сандардың ішіндегі ең кіші натурал сан. Жеткілікті үлкен барлық $n$ сандары үшін $a_n=2a_{n-1}$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Әрбір натурал $k$ саны үшін $C(k)$ арқылы $k$ санының әртүрлі жай бөлгіштерінің қосындысын белгілейік. Мысалға, $C(1)=0$, $C(2)=2$, $C(45)=8$. $C(2^n+1)=C(n)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал $n$ сандарын табыңыз.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Кеңістікте $M$ және $N$
нүктелері мен $ABCD$ дұрыс тетраэдрі берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:
$$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$$
(Барлық алты қабырғасы өзара тең болатын тетраэдр дұрыс деп аталады.)
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)