13-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2017 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған.

$H$ нүктесі осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал

$M$ нүктесі

$AB$ қабырғасының ортасы болсын.

$\omega$ -ның

$C$ нүктесін қамтымайтын

$AB$ доғасынан

$\angle ACP=\angle BCQ < \angle ACQ$ болатындай

$P$ және

$Q$ нүктелері алынған.

$R$ және

$S$ нүктелері,

$H$ нүктесінен сәйкесінше

$CQ$ және

$CP$ түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары болсын.

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ және

$S$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын, және

$M$ нүктесі осы шеңбердің центрі болатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Есеп №2. Кез келген нақты

$x$ және

$y$ сандары үшін

$(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. ( И. Воронович )
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Бірлік шаршылардан құралған тор қағазда доминоларға (ортақ қабырғасы бар екі шаршыдан құралған тіктөртбұрыш фигура) бөліктелген тіктөртбұрыш берілген. Тіктөртбұрыштың шекарасында және ішінде жатқан шаршылардың төбесі болатын барлық төбелерді, арақашықтығы 1-ге тең болатын кез келген екі төбе үшін келесі шарт орындалатындай үш түске бояуға болатынын дәлелдеңіз: осы екі төбені қосатын кесінді доминолардың біреуінің шекарасында жатса, онда осы төбелер әртүрлі түске боялған, және кері жағдайда бірдей түске боялған. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$(a_n)$ тізбегінің алғашқы

$k$ мүшесі

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_k$ — әртүрлі натурал сандар, ал

$n > k$ болған жағдайда,

$a_n$ саны

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_{n-1}$ сандарының кейбіреулерінің (мүмкін тек біреуінің) қосындысы ретінде келтірілмейтін сандардың ішіндегі ең кіші натурал сан. Жеткілікті үлкен барлық

$n$ сандары үшін

$a_n=2a_{n-1}$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Әрбір натурал

$k$ саны үшін

$C(k)$ арқылы

$k$ санының әртүрлі жай бөлгіштерінің қосындысын белгілейік. Мысалға,

$C(1)=0$ ,

$C(2)=2$ ,

$C(45)=8$ .

$C(2^n+1)=C(n)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал

$n$ сандарын табыңыз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Кеңістікте

$M$ және

$N$ нүктелері мен

$ABCD$ дұрыс тетраэдрі берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$ (Барлық алты қабырғасы өзара тең болатын тетраэдр дұрыс деп аталады.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты