Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

13-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2017 жыл


Теңбүйірлі емес сүйірбұрышты ABC үшбұрышы ω шеңберіне іштей сызылған. H нүктесі осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі, ал M нүктесі AB қабырғасының ортасы болсын. ω-ның C нүктесін қамтымайтын AB доғасынан ACP=BCQ<ACQ болатындай P және Q нүктелері алынған. R және S нүктелері, H нүктесінен сәйкесінше CQ және CP түзулеріне түсірілген перпендикуляр табандары болсын. P, Q, R және S нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын, және M нүктесі осы шеңбердің центрі болатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC, а L — точка пересечения прямых CC1 и PQ. Без ограничения общности будем считать, что точка H лежит внутри угла ACQ. Заметим, что точки C, A1, B1, R, S и H лежат на окружности с диаметром CH. Из условия задачи понятно, что PQAB. Поэтому HLQ=90. Значит, точки H, R, Q и L лежат на окружности с диаметром HQ. Следовательно, CSR=CHR=RQL=RQP, то есть точки P, Q, R и S лежат на одной окружности.
Так как AA1B=BB1A=90, то MA1=MB1=AB/2. Поэтому точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку A1B1.
Также из равенств A1CR=BCQ=ACP=B1CS следует, что A1B1SR — равнобочная трапеция. Следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам A1B1 и RS совпадают. Значит M лежит на серединном перпендикуляре к RS. Но с другой стороны, так как APQB — равнобочная трапеция, M также лежит на серединном перпендикуляре к PQ. Следовательно, M — центр окружности, на которой лежат точки P, Q, R и S.

пред. Правка 2   5
2 года 11 месяца назад #

Возьмем точку D, симметричную H относительно M, тогда CD будет диаметром ω. Центр O окружности ω лежит на CD значит D и H изогонально сопряжены относительно угла PCQ. R и S основания высот на стороны угла из H, P и Q основания высот из D. Значит P,Q,R,S лежат на одной окружности с центром в середине DH - M.

  1
3 года 11 месяца назад #

Пусть ACP=x мы имеем CS=CHcos((90ax)),CR=CHcos((90bx))

CRCS=sinb+xsina+x.Мы также имеем QPC=a+x и PQC=b+x из ТеоремыСинусов CRCS=CPCQ.Откуда следует точки P,Q,R,S лежат на одной окружности

Так как CHRS вписанный мы имеем XNRS где X,N середины CH,RS.Но XMCO где O центр описанной окружности треугольника ABC и CORS так как (RS,BC)=a также XMRS где M биссектриса RS.

Поскольку MPA=MQB M лежит на биссектрисе PQ, из чего следует, что M

является центром

  0
2 месяца 10 дней назад #

Можно посчитать в комплексных координатах:

P(d),M((a+b)/2),H(a+b+c),S((a+b+2ccd/acd/b)/2).

Просто надо посчитать, что PM=MS, дело техники

  0
1 месяца 9 дней назад #

по счету углов PQRS вписаный. И очевидно что M лежит на серпере к PQ. Возьмем точку микеля PQRS как K тогда заметим что HKC=90 значит KH проходит через точку M так как HM проходит через диаметр. И по теореме брокарда M является центром.