13-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2017 жыл
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC,
а L — точка пересечения прямых CC1 и PQ. Без ограничения общности
будем считать, что точка H лежит внутри угла ACQ. Заметим, что
точки C, A1, B1, R, S и H лежат на окружности с диаметром CH.
Из условия задачи понятно, что PQ∥AB. Поэтому
∠HLQ=90∘. Значит, точки H, R, Q и L лежат на окружности
с диаметром HQ. Следовательно, ∠CSR=∠CHR=∠RQL=∠RQP,
то есть точки P, Q, R и S лежат на одной окружности.
Так как ∠AA1B=∠BB1A=90∘, то MA1=MB1=AB/2. Поэтому
точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку A1B1.
Также из равенств ∠A1CR=∠BCQ=∠ACP=∠B1CS
следует, что A1B1SR — равнобочная трапеция. Следовательно, серединные
перпендикуляры к отрезкам A1B1 и RS совпадают. Значит M лежит
на серединном перпендикуляре к RS. Но с другой стороны, так как APQB —
равнобочная трапеция, M также лежит на серединном перпендикуляре к PQ.
Следовательно, M — центр окружности, на которой лежат точки P, Q, R
и S.
Возьмем точку D, симметричную H относительно M, тогда CD будет диаметром ω. Центр O окружности ω лежит на CD значит D и H изогонально сопряжены относительно угла PCQ. R и S основания высот на стороны угла из H, P и Q основания высот из D. Значит P,Q,R,S лежат на одной окружности с центром в середине DH - M.
Пусть ∠ACP=x мы имеем CS=CH∗cos(∠(90−a−x)),CR=CH∗cos(∠(90−b−x))⇒
CRCS=sinb+xsina+x.Мы также имеем ∠QPC=a+x и ∠PQC=b+x из ТеоремыСинусов ⇒ CRCS=CPCQ.Откуда следует точки P,Q,R,S лежат на одной окружности
Так как CHRS вписанный мы имеем XN⊥RS где X,N середины CH,RS.Но XM∥CO где O центр описанной окружности треугольника ABC и CO⊥RS так как ∠(RS,BC)=a также XM⊥RS где M биссектриса RS.
Поскольку △MPA=△MQB M лежит на биссектрисе PQ, из чего следует, что M
является центром
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.