14-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2018 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Пусть

$\alpha$ ,

$\beta$ и

$\gamma$ -- углы треугольника, противолежащие сторонам

$a,$

$b$ и

$c$ соответственно. Докажите неравенство

$2\left(\cos ^2\alpha +\cos ^2\beta +\cos ^2\gamma \right) \geq {a^2\over b^2+c^2}+{b^2\over a^2+c^2}+{c^2\over a^2+b^2}.$ ( Исмаилов Ш.Н. )
комментарий/решение(7)

Задача №2. На сторонах

$AB$ ,

$BC$ и

$CA$ треугольника

$ABC$ соответственно взяты точки

$N$ ,

$K$ и

$L$ так, что

$AL=BK$ и

$CN$ -- биссектриса угла

$C$ . Отрезки

$AK$ и

$BL$ пересекаются в точке

$P$ . Обозначим через

$I$ и

$J$ центры вписанных окружностей треугольников

$APL$ и

$BPK$ соответственно. Пусть

$Q$ -- точка пересечения прямых

$CN$ и

$IJ$ . Докажите, что

$IP=JQ$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Докажите, что существует бесконечно много пар

$(m, n)$ натуральных чисел таких, что число

$(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на

$m+n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)

Задача №4. Крокодил загадал четыре клетки таблицы

$2018\times 2018$ , образующие прямоугольник со сторонами 1 и 4. Медведь может выбрать в таблице любой квадрат, образованный 9 клетками, и спросить, есть ли в нём хотя бы одна из загаданных клеток. За какое наименьшее количество таких вопросов Медведь наверняка сможет получить утвердительный ответ? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все вещественные

$a$ , при которых существует функция

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такая, что

$f(x-f(y))=f(x)+a[y]$ для всех вещественных

$x$ и

$y$ (

$[y]$ обозначает целую часть числа

$y$ ). ( И. Воронович )
комментарий/решение(3)

Задача №6. В окружность с радиусом

$R$ вписан выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ . Диагонали

$AD$ и

$BE$ ,

$BE$ и

$CF$ ,

$AD$ и

$CF$ шестиугольника

$ABCDEF$ пересекаются в точках

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно. Пусть

$r_1$ ,

$r_2$ ,

$r_3$ ,

$r_4$ ,

$r_5$ ,

$r_6$ -- радиусы окружностей, вписанных в треугольники

$ABM$ ,

$BCN$ ,

$CDK$ ,

$DEM$ ,

$EFN$ ,

$AFK$ соответственно. Докажите, что

$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt3$ . ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты