қазақша
русский14-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2018 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ -- углы треугольника,
противолежащие сторонам $a,$ $b$ и $c$ соответственно. Докажите
неравенство
$$2\left(\cos ^2\alpha +\cos ^2\beta +\cos ^2\gamma \right)
\geq {a^2\over b^2+c^2}+{b^2\over a^2+c^2}+{c^2\over a^2+b^2}.$$
(
Исмаилов Ш.Н.
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №2. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ соответственно
взяты точки $N$, $K$ и $L$ так, что $AL=BK$ и $CN$ -- биссектриса угла $C$.
Отрезки $AK$ и $BL$ пересекаются в точке $P$. Обозначим через $I$ и $J$
центры вписанных окружностей треугольников $APL$ и $BPK$ соответственно.
Пусть $Q$ -- точка пересечения прямых $CN$ и $IJ$. Докажите, что $IP=JQ$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Докажите, что существует бесконечно много пар $(m, n)$ натуральных чисел
таких, что число $(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на $m+n$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Крокодил загадал четыре клетки таблицы $2018\times 2018$, образующие
прямоугольник со сторонами 1 и 4. Медведь может выбрать в таблице любой
квадрат, образованный 9 клетками, и спросить, есть ли в нём хотя бы одна
из загаданных клеток. За какое наименьшее количество таких вопросов Медведь
наверняка сможет получить утвердительный ответ?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все вещественные $a$, при которых существует функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такая,
что $f(x-f(y))=f(x)+a[y]$ для всех вещественных $x$ и $y$ ($[y]$ обозначает
целую часть числа $y$).
(
И. Воронович
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. В окружность с радиусом $R$ вписан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$.
Диагонали $AD$ и $BE$, $BE$ и $CF$, $AD$ и $CF$ шестиугольника $ABCDEF$
пересекаются в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Пусть
$r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$, $r_6$ -- радиусы окружностей,
вписанных в треугольники $ABM$, $BCN$, $CDK$, $DEM$, $EFN$, $AFK$
соответственно. Докажите, что $r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt3 $.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)