14-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2018 год

В окружность с радиусом $R$ вписан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$. Диагонали $AD$ и $BE$, $BE$ и $CF$, $AD$ и $CF$ шестиугольника $ABCDEF$ пересекаются в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Пусть $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$, $r_6$ -- радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABM$, $BCN$, $CDK$, $DEM$, $EFN$, $AFK$ соответственно. Докажите, что $r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt3$. ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Докажем следующую лемму.
Лемма. Пусть $R$ -- радиус описанной окружности четырёхугольника $XYZT$, диагонали которого пересекаются в точке $U$, и $\varphi={1\over 2}\angle XUY$. Если $r_1$, $r_2$ -- радиусы окружностей, вписанных в треугольники $XYU$, $ZTU$ соответственно, то $${r_1+r_2\over R}\leq 2\tan\varphi (1-\sin\varphi). \quad (1)$$ Действительно, пусть $\angle UXY=2\psi$, $\angle UYX=2\vartheta$, тогда имеем $\angle UTZ=\angle UXY=2\psi$, $\angle UZT=\angle UYX=2\vartheta$ (очевидно, $\psi+\vartheta+\varphi={\pi\over 2}$). Тогда $XY+ZT=(r_1+r_2)(\cot \psi+\cot \vartheta)=2R\sin\angle XTY+2R\sin(2\varphi- \angle XTY)=2R(\sin\angle XTY+\sin(2\varphi-\angle XTY)= 2R\cdot 2\sin\varphi\cos(\varphi-\angle XTY)\leq 4R\sin\varphi$. Следовательно, $${r_1+r_2\over R}\leq {4\sin\varphi\over \cot \psi+\cot \vartheta}= {4\sin\varphi\sin\psi\sin\vartheta\over\sin(\psi+\vartheta)}= {4\sin\varphi\sin\psi\sin\vartheta\over\cos\varphi}= 4\tan\varphi\sin\psi\sin\vartheta=$$ $$=4\tan\varphi\cdot {1\over 2}(\cos(\psi-\vartheta)-\cos(\psi+\vartheta)) \leq 2\tan\varphi(1-\sin\varphi),$$ что и требовалось доказать.
Пусть $\angle AMB=2\alpha$, $\angle BNC=2\beta$, $\angle CKD=2\gamma$, тогда $\alpha+\beta+\gamma={\pi\over 2}$.
Применяя к четырёхугольникам $ABDE$, $BCEF$ и $CDFA$ неравенство (1), получаем $${r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\over R}={r_1+r_4\over R}+{r_2+r_5\over R}+ {r_3+r_6\over R}\leq 2\tan\alpha (1-\sin\alpha )+2\tan\beta (1-\sin\beta )+ 2\tan\gamma(1-\sin\gamma ).$$ Докажем, что, если $\alpha+\beta+\gamma={\pi\over 2}$, то $$2\tan\alpha (1-\sin\alpha )+2\tan\beta (1-\sin\beta )+ 2\tan\gamma(1-\sin\gamma )\leq \sqrt 3.\quad {(2)}$$ Действительно, рассмотрим функцию $f(x)=2\tan x (1-\sin x)$ в области $(0; {\pi\over 2})$.
Поскольку $f''(x)=-2{(1-\sin x)^2+\cos^4 x\over \cos^3 x} < 0$ при $x\in (0; {\pi\over 2})$, согласно неравенству Иенсена имеем $$f(\alpha)+f(\beta)+f(\gamma)\leq 3f\left({\alpha+\beta+\gamma\over 3}\right)= 3f({\pi\over 6})=\sqrt3.$$
Таким образом, неравенство (2) доказано, и $r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq \sqrt3 R$.