14-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2018 год

Найдите все вещественные $a$, при которых существует функция $f:\R\to\R$ такая, что $f(x-f(y))=f(x)+a[y]$ для всех вещественных $x$ и $y$ ($[y]$ обозначает целую часть числа $y$). ( И. Воронович )

Комментарий/решение

Пусть $P (x, y)$ - утверждение $f (x-f (y)) = f (x) + a [ y ]$

Очевидно, что $a = 0$ имеет такой «$f$» (выберите, например, константу $f$). Итак, рассмотрим теперь, что $a \ne 0$

Если $f (u) = f (v)$ для некоторых $u, v$, сравнение $P (x, u)$ с $P (x, v)$ сразу дает

$[u ] = [ v ]$

Если $f (u) \in \mathbb{ Z}$, то существует $x_1, x_2$, что

$[x_1 ] = [ x_2 ]$, но $[x_1-f (u) ] \ne [ x_2-f (u)]$

Но из $P (x_1, u)$ и $P (x_2, u)$ следует, что $f (x_1-f (u)) = f (x_2-f (u))$, откуда следует $[ x_1-f ( u)] = [ x_2-f (u) ]$

Противоречие

Итак, $f (x) \in \mathbb {Z}$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Простая индукция с использованием $P (x, y)$ дает $f (x-nf (y)) = f (x) -an [ y ]$ $\forall n \in \mathbb{ Z}$

Таким образом, $f (x-f (z) f (y)) = f (x) -af (z)[ y]$ $\forall x, y, z\in \mathbb{R}$

Переставляя $y, z$ и вычитая, получаем

$f (z) [ y ] = f (y) [ z ]$ $\forall y, z\in\mathbb{R}$

Установив там $z = 1$, получим $f (x) = c \ [ x ]$ $\forall x \in \mathbb{R}$ и для некоторого $c \in \mathbb{ Z}$

Вставив это обратно в исходное уравнение, получим $a = -c ^ 2$

Следовательно, ответ $\boxed {a \in \{- n ^ 2 \quad \forall n \in \mathbb Z \}}$

Не путайте необходимость с достаточностью: Вы доказали, что если $f(u)=f(v)$, то $[x_1]=[x_2]$, но это не значит, что если $[x_1]=[x_2]$, то $f(u)=f(v)$(вы это использовали при выводе $f(x_1-f(u))=f(x_2-f(u))$)

На самом деле данное верно просто в оригинальном решении от пользователя aops $\ \text{PCO} \ $ он пропустил данное как очевидное

Достигается оно данным способом:

$$\lfloor u \rfloor = \lfloor v \rfloor \quad P(x, u); \ P(x,v): \ \longrightarrow \ f(x-f(u)) = f(x-f(v))$$

$$P(y, x-f(u)); \ P(y, x-f(v) ): \ \longrightarrow \lfloor x - f(u) \rfloor = \lfloor x - f(v) \rfloor \quad \forall x \in \mathbb{R}$$