Решения: Международные олимпиады, Международная Жаутыковская олимпиада (IZHO)

14-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2018 год

На сторонах

$AB$ ,

$BC$ и

$CA$ треугольника

$ABC$ соответственно взяты точки

$N$ ,

$K$ и

$L$ так, что

$AL=BK$ и

$CN$ -- биссектриса угла

$C$ . Отрезки

$AK$ и

$BL$ пересекаются в точке

$P$ . Обозначим через

$I$ и

$J$ центры вписанных окружностей треугольников

$APL$ и

$BPK$ соответственно. Пусть

$Q$ -- точка пересечения прямых

$CN$ и

$IJ$ . Докажите, что

$IP=JQ$ . ( М. Кунгожин )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Если $CA=CB$ , то задача очевидна. Если $CA \ne CB$ , то без потери общности можем предположить, что $CN$ пересекает отрезок $PK$ .

Пусть описанные окружности

$\omega_1$ и

$\omega_2$ , соответственно треугольников

$APL$ и

$BPK$ , во второй раз пересеклись в точке

$T$ . Тогда

$\angle LAT=\angle TPB=\angle TKB.\quad (1)$ и

$\angle ALT=\angle APT=\angle TBK$ , то есть

$\triangle ALT= \triangle KBT$ , откуда

$AT=TK.\quad (2)$ Из (1) также следует, что четырехугольник

$ACKT$ вписанный, а из (2), что

$\angle ACT=\angle TCK$ , то есть

$T$ лежит на биссектрисе

$CN$ .
Пусть

$IJ$ пересекает

$\omega_1$ и

$\omega_2$ в точках

$I_1$ и

$J_1$ соответственно. Так как радиусы окружностей

$\omega_1$ и

$\omega_2$ равны и

$AL=BK$ , равны и треугольники

$ALI_1$ и

$BKJ_1$ . Воспользуемся леммой Мансиона: середина дуги

$XY$ окружности, описанной около треугольника

$XYZ$ , находится на равных расстояниях от концов этой дуги и центра вписанной окружности этого треугольника. По этой лемме

$I_1I=I_1L=J_1K=J_1J$ . Кроме того,

$\angle PI_1T=\angle PAT=\angle PKT=\angle PJ_1T$ , следовательно,

$I_1T=J_1T$ . Таким образом,

$T$ лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку

$I_1J_1$ , и на серединном перпендикуляре к отрезку

$IJ$ .
Осталось доказать, что

$T$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку

$PQ$ . Пусть

$R=AK \cap CT$ . Тогда

$\angle PRT = \angle ART=\angle RAC+\angle ACR=\angle RAC+\angle AKT=\angle RAC+\angle KAT= \angle LAT=\angle BPT$ . Так как

$PQ$ делит угол

$RPB$ пополам,

$\angle PQT=\angle PRT+\angle RPQ= \angle BPT+\angle RPQ= \angle BPT+\angle QPB =\angle QPT$ , следовательно,

$T$ лежит на серединном перпендикуляре отрезка

$PQ$ . Поэтому

$IP=JQ$ .

Matov

7 года 3 месяца назад #

Опечатка в последнем $\angle PRT = \angle ART = \angle BPT \ne \angle PBT$

Matov