16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Натуральное число

$n$ таково, что ни при каких натуральных

$a$ и

$b$ число

$2^a3^b+1$ не делится на

$n$ . Докажите, что

$2^c+3^d$ также не делится на

$n$ ни при каких натуральных

$c$ и

$d$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. В множестве из 20 элементов выбраны

$2k+1$ различных семиэлементных подмножеств, каждое из которых пересекается ровно с

$k$ другими выбранными подмножествами. При каком наибольшем

$k$ это возможно? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство

$AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3)

Задача №4. В неравнобедренном треугольнике

$ABC$ точка

$I$ — центр вписанной окружности, а

$CN$ — биссектриса. Прямая

$CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника

$ABC$ в точке

$M$ . Прямая

$\ell$ параллельна прямой

$AB$ и касается вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Точка

$R$ на прямой

$\ell$ такова, что

$CI \perp IR$ . Описанная окружность треугольника

$MNR$ вторично пересекает прямую

$IR$ в точке

$S$ . Докажите, что

$AS=BS$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(2)

Задача №5. Пусть

$\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции

$f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , удовлетворяющие условию

$f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых

$x$ и

$y$ . ( И. Воронович )
комментарий/решение(1)

Задача №6. На доске

$n\times n$ (

$n>2$ ) некоторые клетки чёрные, а остальные белые. В каждой белой клетке записано количество чёрных клеток, имеющих с ней хотя бы одну общую вершину. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех записанных чисел. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

результаты