Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год


Выпуклый шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Докажите неравенство ACBDCEDFAEBF27ABBCCDDEEFFA. ( Н. Седракян )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Положим d1=ABBCCDDEEFFA,d2=ACBDCEDFAEBF,d3=ADBECF. Применяя теорему Птолемея к четырёхугольникам ABCD, BCDE, CDEF, DEFA, EFAB, FABC, получим шесть равенств ACBDABCD=BCAD, , FBACFABC=ABFC. Подставляя эти равенства в известное неравенство 6(a1b1)(a2b2)(a6b6)6a1a2a66b1b2b6  (aibi>0,i=1,,6), получим 3d36d13d23d1.\eqno(1) Применяя теорему Птолемея к четырёхугольникам ACDF, ABDE и BCEF, получим три равенства ADCF=ACDF+AFCD, ADBE=BDAE+ABDE, BECF=BFCE+BCEF. Подставляя эти равенства в известное неравенство 3(a1+b1)(a2+b2)(a3+b3)3a1a2a3+3b1b2b3  (ai>0,bi>0,i=1,2,3), получим 3d233d2+3d1.\eqno(2) Из неравенств (1) и (2) следует, что (3d23d1)23d1(3d2+3d1), то есть 3d233d1 и d227d1, ч. и т.д.

  4
5 года 3 месяца назад #

Факт. Пусть A1 и B1 - образы точек A и B при инверсии с центром O и радиусом R. Тогда A1B1=ABR2OAOB

Используем инверсию с центром A и радиусом R. Используя Факт заменим все и сократим.

Получим

B1D1C1E1D1F1B1F127B1C1C1D1D1E1E1F1

Где B1,C1,D1,E1,F1 лежат на одной прямой.

То есть, надо доказать

(a+b)(b+c)(c+d)(a+b+c+d)27abcd

Что верно по неравенству AM-GM, в котором вместо a запишем a/2+a/2 и вместо d запишем d/2+d/2.

пред. Правка 2   3
3 года 2 месяца назад #

Доказательство "известного" неравенства

По неравенству Гельдера p=6

6(a1b1)(a2b2)(a6b6)+6b1b2bn6(6(a1b1)6+6b61)(6(a2b2)6+6b62)(6(a6b6)6+6b66)=6a1a2a6

Аналогично и для второго