16-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2020 год
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Положим
d1=AB⋅BC⋅CD⋅DE⋅EF⋅FA,d2=AC⋅BD⋅CE⋅DF⋅AE⋅BF,d3=AD⋅BE⋅CF.
Применяя теорему Птолемея к четырёхугольникам ABCD, BCDE, CDEF,
DEFA, EFAB, FABC, получим шесть равенств AC⋅BD−AB⋅CD=BC⋅AD,
…, FB⋅AC−FA⋅BC=AB⋅FC. Подставляя эти равенства в известное
неравенство
6√(a1−b1)(a2−b2)⋅⋯⋅(a6−b6)≤6√a1a2…a6−6√b1b2…b6 (ai≥bi>0,i=1,…,6),
получим
3√d36√d1≤3√d2−3√d1.\eqno(1)
Применяя теорему Птолемея к четырёхугольникам ACDF, ABDE и BCEF,
получим три равенства AD⋅CF=AC⋅DF+AF⋅CD,
AD⋅BE=BD⋅AE+AB⋅DE, BE⋅CF=BF⋅CE+BC⋅EF.
Подставляя эти равенства в известное неравенство
3√(a1+b1)(a2+b2)(a3+b3)≥3√a1a2a3+3√b1b2b3 (ai>0,bi>0,i=1,2,3),
получим
3√d23≥3√d2+3√d1.\eqno(2)
Из неравенств (1) и (2) следует, что
(3√d2−3√d1)2≥3√d1(3√d2+3√d1), то есть
3√d2≥33√d1 и d2≥27d1, ч. и т.д.
Факт. Пусть A1 и B1 - образы точек A и B при инверсии с центром O и радиусом R. Тогда A1B1=AB∗R2OA∗OB
Используем инверсию с центром A и радиусом R. Используя Факт заменим все и сократим.
Получим
B1D1∗C1E1∗D1F1∗B1F1≥27B1C1∗C1D1∗D1E1∗E1F1
Где B1,C1,D1,E1,F1 лежат на одной прямой.
То есть, надо доказать
(a+b)(b+c)(c+d)(a+b+c+d)≥27abcd
Что верно по неравенству AM-GM, в котором вместо a запишем a/2+a/2 и вместо d запишем d/2+d/2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.