И. Воронович

Есеп №1. Кез келген нақты

$x$ және

$y$ сандары үшін

$(x+y^2)f(yf(x))=xyf(y^2+f(x))$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз. ( И. Воронович )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №2. Найдите все вещественные

$a$ , при которых существует функция

$f:\R\to\R$ такая, что

$f(x-f(y))=f(x)+a[y]$ для всех вещественных

$x$ и

$y$ (

$[y]$ обозначает целую часть числа

$y$ ). ( И. Воронович )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №3. Дан равнобедренный треугольник

$ABC$ ,

$AC=BC$ . На стороне

$AC$ выбрана точка

$D$ . Окружность

$S_1$ с радиусом

$R$ и центром

$O_1$ касается отрезка

$AD$ и продолжений

$BA$ и

$BD$ за точки

$A$ и

$D$ соответственно. Окружность

$S_2$ с радиусом

$2R$ и центром

$O_2$ касается отрезка

$DC$ и продолжений

$BD$ и

$BC$ за точки

$D$ и

$C$ соответственно. Пусть касательная к описанной окружности треугольника

$BO_1O_2$ в точке

$O_2$ пересекает прямую

$BA$ в точке

$F$ . Докажите, что

$O_1F=O_1O_2$ . ( И. Воронович )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Пусть

$\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции

$f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , удовлетворяющие условию

$f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых

$x$ и

$y$ . ( И. Воронович )
комментарий/решение(1) олимпиада