Д. Елиусизов
Задача №1. Для любого натурального числа докажите, что все его натуральные делители можно расставить по кругу так, чтобы из любых двух соседних чисел одно число делилось на другое. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Дано натуральное N. Докажите, что все натуральные делители числа N можно выписать в последовательность d1, …, dk так, чтобы для каждого 1≤i<k одно из чисел di/di+1 и di+1/di было простым. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Дано дерево полного пирамидального вида, которое состоит из n+1 уровней, и из каждой вершины исходит два ребра вниз и входит одно ребро сверху (при этом в самую верхнюю вершину уровня 1 не входит ни одно ребро, а из вершин последнего (n+1)-го уровня не исходят рёбра). На рисунке ниже пример показан для n=3.
Сколько существует способов раскрасить ребра данного дерева в заданные 2n цветов (каждое ребро покрашено в один цвет) так, чтобы для каждого цвета все рёбра, покрашенные в этот цвет, составляли путь из некоторой вершины в вершину последнего уровня? (Путь — это последовательность вершин, где каждая следующая вершина соединена ребром с предыдущей и находится уровнем ниже. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №4. Из доски 2n×2n (n≥3) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере 34n−3 различными способами. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5. Из доски 2n×2n (n≥3) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере 43⋅4n−3 различными способами. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. Две черепахи одновременно выходят из точки с координатами (0,0) и на каждом шагу одновременно переходят на одну из целочисленных координат вверх или вправо (то есть из (x,y) в (x+1,y) или в (x,y+1)). Сколько существует способов им добраться до точки (n,n), если последний раз они встречались только в точке (0,0)? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7. Две черепахи одновременно выходят из точки с координатами (0,0) и на каждом шагу одновременно переходят на одну из целочисленных координат вверх или вправо (то есть из (x,y) в (x+1,y) или в (x,y+1)). Сколько существует способов им добраться до точки (n,n), если последний раз они встречались только в точке (0,0)? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №8. Дано множество A={1,2,…,n} и натуральное число m. Сколько существует способов разделить А на m частей так, что если числа a<b лежат в одной части, а c<d в другой, то (a−d)(b−c)>0? Например, если n=4, m=2, то существует 5 способов разделения: {1,2}{3,4};{1,2,3}{4};{1,2,4}{3};{1,3,4}{2};{2,3,4}{1}. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №9. Назовем квадратную таблицу бинарной, если в каждой ее клетке записано одно число 0 или 1. Бинарная таблица называется регулярной, если в каждой ее строке и в каждом столбце ровно по 2 единицы. Определите количество регулярных таблиц размером n×n (n>1 — данное фиксированное натуральное число). (Можно считать, что строки и столбцы таблиц пронумерованы: случаи совпадения при повороте, отражения и т.п. считать различными). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10. Даны нечетные натуральные числа m>1, k и простое число p такое, что p>mk+1. Докажите, что сумма (Ckk)m+(Ckk+1)m+…+(Ckp−1)mделится наp2. Здесь Ckn=n!k!(n−k)! — биномиальный коэффициент. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11. Докажите, что для любых действительных чисел a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn выполнено неравенство (a20101+a20102+…+a2010n)(b20101+b20102+…+b2010n)≥(a1b20091+a2b20092+…+anb2009n)(a20091b1+a20092b2+…+a2009nbn). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №12. Последовательность {an}n≥1 определена следующим образом: a1=α и an+1=2a2n−1 для n≥1. Сколько различных значений может принимать действительное число α, если a2010=0? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Дан треугольник ABC. Рассмотрим эллипс Ω1, проходящий через точку C, у которого фокусы расположены в точках A и B. Аналогичным образом определим эллипсы Ω2,Ω3 (с фокусами B,C и C,A соответственно). Докажите, что если все три эллипса проходят через одну общую точку D, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (эллипсом называется геометрическое место точек, суммарное расстояние от которых до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №14. Докажите, что для чисел 0<a1≤a2≤⋯≤an (n≥3) выполнено неравенство a21a2+a32a23+…+an+1nan1≥a1+a2+…+an. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №15. Для натурального числа k обозначим через Fk — множество всех связанных плоских фигур, состоящих ровно из k единичных клеток. Для произвольной плоской фигуры f через S(f) обозначим наименьшую возможную площадь прямоугольника, содержащего внутри себя f. Для заданного n натурального определите maxf∈FnS(f). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №16. Функция f:R→R, где R — поле вещественных чисел, удовлетворяет тождеству f(f(x)+x+y)=2x+f(y) для любых x,y∈R. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №17. Докажите неравенство ab+bc+ac≥2(a+b+c) для положительных действительных чисел a, b, c если известно, что a+b+c+2=abc. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №18. Найдите все функции f:R→R, где R — поле вещественных чисел, удовлетворяющие тождеству f(xy+f(x))=xf(y)+f(x) для любых x,y∈R. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №19. Докажите неравенство ab+bc+ac≥2(a+b+c) для положительных действительных чисел a, b, c если известно, что a+b+c+2=abc. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №20. Пусть P(n) это количество способов разбить натуральное число n на сумму степеней двойки, при этом порядок не имеет значение. Например P(5)=4, так как 5=4+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1. Докажите, что для любого натурального n верно тождество P(n)+(−1)a1P(n−1)+(−1)a2P(n−2)+…+(−1)an−1P(1)+(−1)an=0, где ak — количество единиц в двоичной записи числа k. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №21. В каждую клетку таблицы 4×4, в которой строки помечены числами 1,2,3,4, а столбцы — буквами a,b,c,d, записано одно число: 0 или 1. Такая таблица называется допустимой, если в каждой ее строке и в каждом столбце стоят ровно по две единицы. Определите количество допустимых таблиц. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №22. Докажите, что для положительных действительных чисел a,b и c, для которых abc≤1, выполнено неравенство 1a+1b+1c≥1+6a+b+c. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(14) олимпиада
Задача №23. Определите все многочлены P(x) с действительными коэффициентами такие, что для любого рационального r уравнение P(x)=r имеет рациональное решение. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №24. Дан (неориентированный) граф (без петель) с 2n вершинами и с 2n(n−1) ребрами, n>1. Докажите, что некоторые вершины и ребра этого графа можно покрасить в красный цвет так, чтобы каждое красное ребро соединяло красные вершины и из каждой красной вершины исходило ровно n красных ребер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №25. В треугольнике ABC точки A0,B0 и C0 — середины сторон BC,CA и AB соответственно, а точки A1,B1 и C1 — середины (по длине) ломаных BAC,CBA и BCA соответственно. Докажите, что прямые A0A1,B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №26. Найдите максимальное значение вещественного числа M, при котором для любых положительных вещественных чисел a,b,c выполняется неравенство a3+b3+c3−3abc≥M(|a−b|3+|b−c|3+|c−a|3) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №27. Пусть вписанная окружность ω треугольника ABC касается стороны BC в точке K. Проведем окружность, проходящую через точки B и C, и касающуюся ω в точке S. Докажите, что прямая SK проходит через центр вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №28. Пусть a1,a2,…,an — арифметическая прогрессия целых чисел такая, что ai делится на i для всех i=1,2,…,n−1 и an не делится на n. Докажите, что n — степень простого числа. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №29. Для действительных чисел x,y,z∈(0;1) известно, что 8xyz=(1−x)(1−y)(1−z). Докажите, что x+y+z≥1. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №30. Кузнечик стоит на координатной оси в точке с координатой 0. На каждом шагу ему разрешается прыгнуть из точки с координатой x в точку с координатой x+1, либо в точку с координатой 2x. Весом координаты назовем минимальное количество прыжков, требуемое кузнечику для ее достижения. Определите координату x<2010 с наибольшим весом. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №31. Пусть N=1010−1. Докажите, что существует перестановка (a1,a2,…,aN) чисел (1,2,…,N) такая, что {|a1−a2|,|a2−a3|,|a3−a4|,…,|aN−1−aN|}={1,10,102,103,…,109}. (Какие-то из разностей |ai−ai+1| могут принимать одинаковые значения, но при этом все значения множества {1,10,102,103,…,109} должны встречаться среди этих разностей). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение олимпиада
Задача №32. Обозначим через An множество разбиений последовательности 1,2,…,n на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых любые два соседних члена имеют разную чётность, а через Bn — множество разбиений последовательности 1,2,…,n на несколько подпоследовательностей, в каждой из которых все члены имеют одинаковую чётность (например, разбиение {(1,4,5,8),(2,3),(6,9),(7)} является элементом A9, а разбиение {(1,3,5),(2,4),(6)} является элементом B6).
Докажите, что при каждом натуральном n множества An и Bn+1 содержат одинаковое количество элементов. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №33. Дано натуральное число n. Докажите неравенство n∑i=11i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)<196. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №34. Назовем натуральное число абсолютно простым, если произвольно переставляя его цифры, мы будем всегда получать простое число. Например, число 113 абсолютно простое (113, 131, 311 - все простые). Докажите, что не существует абсолютно простого числа, десятичная запись которого содержит все цифры 1, 3, 7, 9. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №35. Определите все пары натуральных чисел m,n, удовлетворяющих равенству (2m+1,2n+1)=2(m,n)+1. Здесь (a,b) — это наибольший общий делитель чисел a,b. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №36. Определите все пары положительных действительных чисел (α,β) для которых существует функция f:R+→R+ удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел x уравнению f(f(x))=αf(x)−βx. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №37. Докажите, что для любого простого числа p существуют бесконечно много четверок (x,y,z,t) попарно различных натуральных чисел таких, что число (x2+pt2)(y2+pt2)(z2+pt2) является полным квадратом. ( Д. Елиусизов, Е. Байсалов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №38. Дано натуральное число m≥2. Последовательность натуральных чисел (b0,b1,…,bm) назовем вогнутой, если bk+bk−2≤2bk−1 для всех 2≤k≤m. Докажите, что существует не более 2m вогнутых последовательностей, начинающихся с b0=1 и b1=2. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №39. Докажите, что существует по крайней мере 100! способов разбить число 100! на сумму слагаемых из множества {1!,2!,3!,…,99!}. (Разбиения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются одинаковыми; любое слагаемое можно использовать несколько раз. Напомним, что n!=1⋅2⋅…⋅n.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №40. Последовательность {an} определена следующим образом: a0=1 и an=[√n]∑k=1an−k2 для n≥1. Докажите, что среди a1,a2,…,a106 есть хотя бы 500 четных чисел. (Здесь [x] обозначает наибольшее целое, не превосходящее x.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2) олимпиада