Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып

Кез келген нақты $a_1, a_2, \ldots, a_n$, $b_1, b_2, \ldots, b_n$ оң сандары үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңдер: $$(a_1^{2010} + a_2^{2010} + \ldots + a_n^{2010})(b_1^{2010} + b_2^{2010} + \ldots + b_n^{2010}) \ge$$ $$\ge (a_1b_1^{2009} + a_2b_2^{2009} + \ldots + a_nb_n^{2009})(a_1^{2009}b_1 + a_2^{2009}b_2 + \ldots + a_n^{2009}b_n).$$ ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Обозначим множители как $A,B,C,D$ тогда нужно доказать что

$$AB\ge CD$$

По неравенству Гелдера :

$$AB^{2009} \ge C^{2010}$$

и

$$A^{2009}B\ge D^{2010}$$

перемножив оба неравенства получим требуемое.