Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс


Задача №1.  Дан треугольник ABC. Рассмотрим эллипс Ω1, проходящий через точку C, у которого фокусы расположены в точках A и B. Аналогичным образом определим эллипсы Ω2,Ω3 (с фокусами B,C и C,A соответственно). Докажите, что если все три эллипса проходят через одну общую точку D, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (эллипсом называется геометрическое место точек, суммарное расстояние от которых до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Последовательность {an}n1 определена следующим образом: a1=α и an+1=2a2n1 для n1. Сколько различных значений может принимать действительное число α, если a2010=0? ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №3. В результате операции сцепления, примененной к последовательности (x1,x2,,xn), получается последовательность (x1x2,x2x3,,xnx1). Для каких натуральных n>1 из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел 1 и 1, всегда можно получить последовательность (1,1,,1) применением конечного числа операций сцепления?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что для любых действительных чисел a1, a2, , an, b1, b2, , bn выполнено неравенство (a20101+a20102++a2010n)(b20101+b20102++b2010n)(a1b20091+a2b20092++anb2009n)(a20091b1+a20092b2++a2009nbn). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABK, BCL, CDM, DAN. Обозначим через P и Q середины отрезков BL и AN, соответственно. Пусть X — центр описанной окружности треугольника CMD. Докажите, что PQKX.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде A2+B, где A — целое, а B — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение
результаты