Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс
Задача №1. Дан треугольник ABC. Рассмотрим эллипс Ω1, проходящий через точку C, у которого фокусы расположены в точках A и B. Аналогичным образом определим эллипсы Ω2,Ω3 (с фокусами B,C и C,A соответственно). Докажите, что если все три эллипса проходят через одну общую точку D, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (эллипсом называется геометрическое место точек, суммарное расстояние от которых до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Последовательность {an}n≥1 определена следующим образом: a1=α и an+1=2a2n−1 для n≥1. Сколько различных значений может принимать действительное число α, если a2010=0?
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В результате операции сцепления, примененной к последовательности
(x1,x2,…,xn), получается последовательность
(x1x2,x2x3,…,xnx1).
Для каких натуральных n>1 из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел 1 и −1, всегда можно получить последовательность
(1,1,…,1) применением конечного числа операций сцепления?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любых действительных чисел a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn выполнено неравенство
(a20101+a20102+…+a2010n)(b20101+b20102+…+b2010n)≥(a1b20091+a2b20092+…+anb2009n)(a20091b1+a20092b2+…+a2009nbn).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABK, BCL, CDM, DAN. Обозначим через P и Q середины отрезков BL и AN, соответственно. Пусть X — центр описанной окружности треугольника CMD. Докажите, что PQ⊥KX.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде A2+B, где A — целое, а B — число года.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение
комментарий/решение