Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

В результате операции сцепления, примененной к последовательности $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, получается последовательность $$(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1).$$ Для каких натуральных $n > 1$ из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел $1$ и $-1$, всегда можно получить последовательность $(1, 1, \ldots,1)$ применением конечного числа операций сцепления?

Комментарий/решение

Ответ: 2 степени х, где х это от 1 до бесконечности

я думаю

сперва заметим что у нас должно быть выражение -1,-1,........,-1 если изначально есть хотя бы один -1 потому что если хотя бы у одного из -1 возле будет соседствовать 1 тогда при следующем операции у нас хотя бы один -1 будет и так далее до бесконечности если не будет появляться выражение-1,...,-1

значит доказано что перед 1,1...1 прошлая операция была либо 1,..1 или -1,...-1. , для 1,1...1 понятно рассмотрим -1,...-1 тогда очевидно что прошлая операция должна быть 1,-1,-1....,-1 или -1,1,....1 значит чёт-1 и чёт 1кол-во

рассмотрим для нечет n тогда заметим что одно из них чёт другое нечет очевидно что при операциях мы не можем получить -1,...,-1 аналогично 1,...1, .,

значит для всех нечет не работает, также если n=2*p где 2* степень 2 и р нечет >1 тогда допустим n=p будет принимать форму а1,а2,.....,ар где нельзя получить 1,....1 значит если сделать так а1,а2,....,ар,а1,....,ар,...................ар 2* раз тогда аналогично мы не получим 1,....1 значит не из любой изначальной последовательности мы можем получить, значит остаётся

2* для любого натурального * ., очевидно что это работает но я не придумал как это доказать

опечатка

не 1,-1,-1,....,-1 , а будет 1,-1,1,.....,-1