Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс


В результате операции сцепления, примененной к последовательности (x1,x2,,xn), получается последовательность (x1x2,x2x3,,xnx1). Для каких натуральных n>1 из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел 1 и 1, всегда можно получить последовательность (1,1,,1) применением конечного числа операций сцепления?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 месяца 9 дней назад #

Ответ: 2 степени х, где х это от 1 до бесконечности

я думаю

сперва заметим что у нас должно быть выражение -1,-1,........,-1 если изначально есть хотя бы один -1 потому что если хотя бы у одного из -1 возле будет соседствовать 1 тогда при следующем операции у нас хотя бы один -1 будет и так далее до бесконечности если не будет появляться выражение-1,...,-1

значит доказано что перед 1,1...1 прошлая операция была либо 1,..1 или -1,...-1. , для 1,1...1 понятно рассмотрим -1,...-1 тогда очевидно что прошлая операция должна быть 1,-1,-1....,-1 или -1,1,....1 значит чёт-1 и чёт 1кол-во

рассмотрим для нечет n тогда заметим что одно из них чёт другое нечет очевидно что при операциях мы не можем получить -1,...,-1 аналогично 1,...1, .,

значит для всех нечет не работает, также если n=2*p где 2* степень 2 и р нечет >1 тогда допустим n=p будет принимать форму а1,а2,.....,ар где нельзя получить 1,....1 значит если сделать так а1,а2,....,ар,а1,....,ар,...................ар 2* раз тогда аналогично мы не получим 1,....1 значит не из любой изначальной последовательности мы можем получить, значит остаётся

2* для любого натурального * ., очевидно что это работает но я не придумал как это доказать

  0
1 месяца 8 дней назад #

опечатка

не 1,-1,-1,....,-1 , а будет 1,-1,1,.....,-1