қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс
Задача №1. Дан треугольник $ABC$. Рассмотрим эллипс $\Omega_1$, проходящий через точку $C$, у которого фокусы расположены в точках $A$ и $B$. Аналогичным образом определим эллипсы $\Omega_2,\Omega_3$ (с фокусами $B,C$ и $C,A$ соответственно). Докажите, что если все три эллипса проходят через одну общую точку $D$, то точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности (эллипсом называется геометрическое место точек, суммарное расстояние от которых до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Последовательность $\{a_n\}_{n\geq1}$ определена следующим образом: $a_1 =\alpha $ и $a_{n+1} = 2a_n^2-1$ для $n\geq 1$. Сколько различных значений может принимать действительное число $\alpha$, если $a_{2010} = 0$?
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В результате операции сцепления, примененной к последовательности
$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, получается последовательность
$$
(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1).
$$
Для каких натуральных $n > 1$ из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел $1$ и $-1$, всегда можно получить последовательность
$(1, 1, \ldots,1)$ применением конечного числа операций сцепления?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для любых действительных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_n$ выполнено неравенство
$$
\left (a_1^{2010}+a_2^{2010} +\ldots+a_n^{2010}\right) \left (b_1^{2010}+b_2^{2010} + \ldots +b_n^{2010}\right) \geq
\left (a_1b_1^{2009}+a_2b_2^{2009}+ \ldots+a_nb_n^{2009}\right) \left (a_1^{2009}b_1+a_2^{2009}b_2 +\ldots+a_n^{2009}b_n\right).
$$
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На сторонах выпуклого четырехугольника $ABCD$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$. Обозначим через $P$ и $Q$ середины отрезков $BL$ и $AN$, соответственно. Пусть $X$ — центр описанной окружности треугольника $CMD$. Докажите, что $PQ\perp KX$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение
комментарий/решение