Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Дан треугольник $ABC$. Рассмотрим эллипс $\Omega_1$, проходящий через точку $C$, у которого фокусы расположены в точках $A$ и $B$. Аналогичным образом определим эллипсы $\Omega_2,\Omega_3$ (с фокусами $B,C$ и $C,A$ соответственно). Докажите, что если все три эллипса проходят через одну общую точку $D$, то точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности (эллипсом называется геометрическое место точек, суммарное расстояние от которых до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина). ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Положим что точка $D$ нашлась , тогда по определению справедливы нижеописанные соотношения , так как $D$ это общая точка для всех эллипсов , получим

$DA+DC = BA+BC$ так же $BA+CA = DB+DC$ и так же $CA+CB = DA+DB$ , откуда получим , что $BA=DC , \ \ AC=BD , \ \ BC=AD$ то есть четырехугольник $ABCD$ прямоугольник , около которого можно описать окружность .