Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышы берілген. $C$ нүктесі арқылы өтетін, фокустары $A$ және $B$ нүктелері болатын $\Omega_1$ эллипсін қарастырайық. Осыған ұқсас $\Omega_2, \Omega_3$ (фокустары сәйкесінше $B, C$ және $C, A$) эллипстерін анықтаймыз. Егер осы үш эллипстің ортақ $D$ нүктесі бар болса, онда $A, B, C, D$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңдер (фокустары деп аталатын бекітілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты мәнге тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады). ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Положим что точка $D$ нашлась , тогда по определению справедливы нижеописанные соотношения , так как $D$ это общая точка для всех эллипсов , получим

$DA+DC = BA+BC$ так же $BA+CA = DB+DC$ и так же $CA+CB = DA+DB$ , откуда получим , что $BA=DC , \ \ AC=BD , \ \ BC=AD$ то есть четырехугольник $ABCD$ прямоугольник , около которого можно описать окружность .