қазақша
русскийА. Васильев
Задача №1. Найдите все рациональные числа $a$, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел $q$, что уравнение $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах $x$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №2. Найдите все рациональные числа $a$, для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел $q$, что уравнение $\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах $x$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №3. Существуют ли натуральное число $m\ge 2$ и многочлен с целыми коэффициентами $p\left( x \right)$, такие, что ${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ делится на $m$ для любого натурального $n$? Здесь $\left( {{F}_{n}} \right)$ — последовательность Фибоначчи, которая задается двумя первыми членами ${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ и рекуррентным соотношением ${{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №4. Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. Обозначим через $\mathbb{Q} $ множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$, удовлетворяющие для любых рациональных чисел $x,y,z$ равенству $f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №7. а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1? б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №8. Прямая $PQ$ касается вписанной в треугольник $ABC$ окружность таким образом, что точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$, соответственно. На сторонах $AB$ и $AC$ выбраны точки $M$ и $N$, соответственно, так, что $AM=BP$ и $AN=CQ$. Докажите, что все построенные таким образом прямые $MN$ проходят через одну точку. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9. Число $1\underbrace{33 \ldots3}_{k - \text{раз}}$ — простое, $k > 1$. Докажите, что $k^2-2k+3$ кратно 6. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №10. Пусть $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ — вневписанные окружности треугольника $A_1A_2A_3$ площади $ S $. $\omega_1$ касается стороны $A_2A_3$ в точке $B_1$ (и продолжении сторон $A_1A_2$ и $A_1A_3$). Прямая $A_1B_1$ пересекает $\omega_1$ в точках $B_1$ и $C_1$. Пусть $S_1$ — площадь четырехугольника $A_1A_2C_1A_3$. Аналогично определим $S_2$ и $S_3$. Докажите, что $$ \frac{1}{S} \leq \frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}. $$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11. Решите уравнение $p+\sqrt{q^2+r}=\sqrt{s^2+t}$ в простых числах. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №12. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №13. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №14. Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Точка $M$ делит отрезок $C_1B_1$ в отношении $3:1$, считая от $C_1$. $N$ — середина стороны $AC$. Докажите, что точки $I$, $M$, $B_1$, $N$ лежат на одной окружности, если известно что $AC=3(BC-AB)$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №15. Дано натуральное число $n$. Один из корней квадратного уравнения $x^2-ax+2n=0$ равен $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Докажите, что $2\sqrt{2n} \leq a \leq 3\sqrt{n}.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №16. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр $0, 1, 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №17. Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Обозначим через $D$ основание высоты, опущенной из $A$ на $BC$, через $E$ — точку пересечения $AD$ и $CO$. Пусть $M$ — середина $AE$, а точка $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $C$ на $AO$. Докажите, что точка пересечения прямых $OM$ и $BC$ лежит на описанной окружности треугольника $BOF$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №18. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №19. Дано положительное действительное число $A$. Найдите наибольшее возможное значение действительного числа $M$, для которого выполнено неравенство $$\displaylines{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{A}{x+y}\geq\frac{M}{\sqrt{xy}} }$$ для любых положительных действительных чисел $x, y$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №20. Окружность $\omega$ проходит через вершину $B$, касается стороны $AC$ в точке $D$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Прямая $PQ$ пересекает $BD$ в точке $M$, а $AC$ — в точке $N$. Докажите, что $\omega$, окружность, описанная около треугольника $DMN$, и окружность, касающаяся $PQ$ в точке $M$ и проходящая через $B$, пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №21. Для вещественных чисел $1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ докажите неравенство $$(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 ).$$ ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада
Задача №22. Последовательность $\{a_n\}$ целых чисел удовлетворяет соотношению ${a_{n + 2}} = a_{n + 1}^2 + {a_n}$ для всех натуральных $n$. Докажите, что существует $m > 1$ такое, что $a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3 $ делится на 2004. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №23. Около остроугольного треугольника $ABC$, где $\angle ABC=2\angle ACB$, описана окружность с центром $O$. Пусть $K$ — точка пересечения $AO$ и $BC$, а точка $O_1$ — центр описанной окружности треугольника $ACK$. Докажите, что площадь четырехугольника $AKCO_1$ равна площади треугольника $ABC$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №24. Трапеция $ABCD$, где $BC||AD$, вписана в окружность, $E$ — середина дуги $AD$ этой окружности, не содержащей точку $C$. Пусть $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $E$ на прямую, касающуюся окружности в точке $C$. Докажите, что $BC=2CF$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №25. Пусть натуральные числа $a,b,c,d$ таковы, что $d$ делит $a^{2b}+c$ и $d \ge a+c$. Докажите, что $d \ge a + \sqrt[2b]{a}$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №26. Определите наименьшее возможное число $n > 1$ такое, что существует натуральные числа $a_1, a_2,\ldots, a_n,$ для которых ${(a_1+a_2+ \ldots+a_n)}^2-1$ делится на $a_1^2+a_2^2+ \ldots+a_n^2.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №27. Докажите, что для любого целого положительного $n$ среднее арифметическое чисел $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ лежит на отрезке $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №28. Найдите все тройки простых чисел $(p,q,r)$ такие, что $p-q+r=\sqrt{p+q+r}$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(13) олимпиада
Задача №29. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ так, что $AB\cdot AD=CB\cdot CD$. Точка $M$ — середина отрезка $BD$. Докажите, что если $\angle AMC=90^\circ$, то $\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №30. Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$. На стороне $BC$ взята точка $K$, из которой опущены перпендикуляры $KF$ и $KG$ на стороны $AB$ и $AC$, соответственно. Прямая $AO$ пересекает прямые $KG$ и $KF$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Докажите, что $BD\parallel CE$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №31. Какие положительные рациональные числа можно представить в виде $\dfrac{x^{20} y^{23}}{z^{2024}},$ где $x,y,z$ — натуральные числа? ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №32. Докажите, что существует бесконечно много целых чисел, не представимых в виде $x^2+y^2+z^2+xyz$, где $x,y,z$ — целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №33. Натуральные числа $x,y,t$ таковы, что $x^2+257=y^t$ и $2\le t\le 48$. Докажите, что число $t$ — простое. ( А. Васильев )
комментарий/решение(9) олимпиада
Задача №34. Найдите все простые числа $p$, для которых существуют целые числа $m$ и $n$, удовлетворяющие условиям $p = m^2 + n^2$ и $p\ |\ m^3 + n^3 - 4$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №35. Биссектриса угла $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает гипотенузу $AB$ в точке $D$ и точка $M$ — середина $AD$. На $CD$ как на стороне построен квадрат $CDEF$ так, что точки $A$ и $F$ лежат по разные стороны от прямой $CD$. Докажите, что $\angle ACM=\angle FAC$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №36. Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a^2=b^3+ab$ и $c^3=a+b+c$. Докажите, что $a=bc$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №37. Окружность диаметра $d$ вписана в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ и касается сторон $BC$ и $DA$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон $AB$ и $CD$ равно отрезку $KL$ тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон $AB$ и $CD$ равно $d$. (Средним гармоническим положительных чисел $a$ и $b$ называется число $\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$, а средним геометрическим — число $\sqrt{ab}$.) ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада