А. Васильев

Задача №1. Найдите все рациональные числа

$a$ , для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел

$q$ , что уравнение

$\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах

$x$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Найдите все рациональные числа

$a$ , для которых существует бесконечно много таких положительных рациональных чисел

$q$ , что уравнение

$\left[ {{x}^{a}} \right]\cdot \left\{ {{x}^{a}} \right\}=q$ не имеет решений в рациональных числах

$x$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №3. Существуют ли натуральное число

$m\ge 2$ и многочлен с целыми коэффициентами

$p\left( x \right)$ , такие, что

${{F}_{n}}-p\left( n \right)$ делится на

$m$ для любого натурального

$n$ ? Здесь

$\left( {{F}_{n}} \right)$ — последовательность Фибоначчи, которая задается двумя первыми членами

${{F}_{1}}={{F}_{2}}=1$ и рекуррентным соотношением

${{F}_{n+2}}={{F}_{n+1}}+{{F}_{n}}$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. Докажите, что для любого натурального

$n$ на отрезке

$[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ , где

$x$ и

$y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Обозначим через

$\mathbb{Q}$ множество всех рациональных чисел. Найдите все функции

$f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ , удовлетворяющие для любых рациональных чисел

$x,y,z$ равенству

$f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. Докажите, что для любого натурального

$n$ на отрезке

$[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ , где

$x$ и

$y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №7. а) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде суммы нескольких рациональных чисел, произведение которых равно 1?
б) Верно ли, что любое рациональное число можно представить в виде произведения нескольких рациональных чисел, сумма которых равна 1? ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №8. Прямая

$PQ$ касается вписанной в треугольник

$ABC$ окружность таким образом, что точки

$P$ и

$Q$ лежат на сторонах

$AB$ и

$AC$ , соответственно. На сторонах

$AB$ и

$AC$ выбраны точки

$M$ и

$N$ , соответственно, так, что

$AM=BP$ и

$AN=CQ$ . Докажите, что все построенные таким образом прямые

$MN$ проходят через одну точку. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Число

$1\underbrace{33 \ldots3}_{k - \text{раз}}$ — простое,

$k > 1$ . Докажите, что

$k^2-2k+3$ кратно 6. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №10. Пусть

$\omega_1$ ,

$\omega_2$ ,

$\omega_3$ — вневписанные окружности треугольника

$A_1A_2A_3$ площади

$S$ .

$\omega_1$ касается стороны

$A_2A_3$ в точке

$B_1$ (и продолжении сторон

$A_1A_2$ и

$A_1A_3$ ). Прямая

$A_1B_1$ пересекает

$\omega_1$ в точках

$B_1$ и

$C_1$ . Пусть

$S_1$ — площадь четырехугольника

$A_1A_2C_1A_3$ . Аналогично определим

$S_2$ и

$S_3$ . Докажите, что

$\frac{1}{S} \leq \frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №11. Решите уравнение

$p+\sqrt{q^2+r}=\sqrt{s^2+t}$ в простых числах. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №12. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №13. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №14. Вписанная в треугольник

$ABC$ окружность с центром

$I$ касается сторон

$AB$ и

$AC$ в точках

$C_1$ и

$B_1$ соответственно. Точка

$M$ делит отрезок

$C_1B_1$ в отношении

$3:1$ , считая от

$C_1$ .

$N$ — середина стороны

$AC$ . Докажите, что точки

$I$ ,

$M$ ,

$B_1$ ,

$N$ лежат на одной окружности, если известно что

$AC=3(BC-AB)$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №15. Дано натуральное число

$n$ . Один из корней квадратного уравнения

$x^2-ax+2n=0$ равен

$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Докажите, что

$2\sqrt{2n} \leq a \leq 3\sqrt{n}.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №16. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр

$0, 1, 2$ . Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде

$A^2 + B$ , где

$A$ — целое, а

$B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №17. Пусть

$O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ . Обозначим через

$D$ основание высоты, опущенной из

$A$ на

$BC$ , через

$E$ — точку пересечения

$AD$ и

$CO$ . Пусть

$M$ — середина

$AE$ , а точка

$F$ — основание перпендикуляра, опущенного из

$C$ на

$AO$ . Докажите, что точка пересечения прямых

$OM$ и

$BC$ лежит на описанной окружности треугольника

$BOF$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №18. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде

$A^2 + B$ , где

$A$ — целое, а

$B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №19. Дано положительное действительное число

$A$ . Найдите наибольшее возможное значение действительного числа

$M$ , для которого выполнено неравенство

$\displaylines{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{A}{x+y}\geq\frac{M}{\sqrt{xy}} }$ для любых положительных действительных чисел

$x, y$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №20. Окружность

$\omega$ проходит через вершину

$B$ , касается стороны

$AC$ в точке

$D$ и пересекает стороны

$AB$ и

$BC$ треугольника

$ABC$ в точках

$P$ и

$Q$ , соответственно. Прямая

$PQ$ пересекает

$BD$ в точке

$M$ , а

$AC$ — в точке

$N$ . Докажите, что

$\omega$ , окружность, описанная около треугольника

$DMN$ , и окружность, касающаяся

$PQ$ в точке

$M$ и проходящая через

$B$ , пересекаются в одной точке. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №21. Для вещественных чисел

$1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ докажите неравенство

$(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 ).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №22. Последовательность

$\{a_n\}$ целых чисел удовлетворяет соотношению

${a_{n + 2}} = a_{n + 1}^2 + {a_n}$ для всех натуральных

$n$ . Докажите, что существует

$m > 1$ такое, что

$a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3$ делится на 2004. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №23. Около остроугольного треугольника

$ABC$ , где

$\angle ABC=2\angle ACB$ , описана окружность с центром

$O$ . Пусть

$K$ — точка пересечения

$AO$ и

$BC$ , а точка

$O_1$ — центр описанной окружности треугольника

$ACK$ . Докажите, что площадь четырехугольника

$AKCO_1$ равна площади треугольника

$ABC$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №24. Трапеция

$ABCD$ , где

$BC||AD$ , вписана в окружность,

$E$ — середина дуги

$AD$ этой окружности, не содержащей точку

$C$ . Пусть

$F$ — основание перпендикуляра, опущенного из

$E$ на прямую, касающуюся окружности в точке

$C$ . Докажите, что

$BC=2CF$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №25. Пусть натуральные числа

$a,b,c,d$ таковы, что

$d$ делит

$a^{2b}+c$ и

$d \ge a+c$ . Докажите, что

$d \ge a + \sqrt[2b]{a}$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №26. Определите наименьшее возможное число

$n > 1$ такое, что существует натуральные числа

$a_1, a_2,\ldots, a_n,$ для которых

${(a_1+a_2+ \ldots+a_n)}^2-1$ делится на

$a_1^2+a_2^2+ \ldots+a_n^2.$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №27. Докажите, что для любого целого положительного

$n$ среднее арифметическое чисел

$\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ лежит на отрезке

$\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №28. Найдите все тройки простых чисел

$(p,q,r)$ такие, что

$p-q+r=\sqrt{p+q+r}$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(16) олимпиада

Задача №29. На стороне

$AC$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$D$ так, что

$AB\cdot AD=CB\cdot CD$ . Точка

$M$ — середина отрезка

$BD$ . Докажите, что если

$\angle AMC=90^\circ$ , то

$\angle CAM+\angle BCM=\angle ACM+\angle BAM$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №30. Остроугольный треугольник

$ABC$ вписан в окружность с центром

$O$ . На стороне

$BC$ взята точка

$K$ , из которой опущены перпендикуляры

$KF$ и

$KG$ на стороны

$AB$ и

$AC$ , соответственно. Прямая

$AO$ пересекает прямые

$KG$ и

$KF$ в точках

$D$ и

$E$ соответственно. Докажите, что

$BD\parallel CE$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №31. Какие положительные рациональные числа можно представить в виде

$\dfrac{x^{20} y^{23}}{z^{2024}},$ где

$x,y,z$ — натуральные числа? ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №32. Докажите, что существует бесконечно много целых чисел, не представимых в виде

$x^2+y^2+z^2+xyz$ , где

$x,y,z$ — целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №33. Натуральные числа

$x,y,t$ таковы, что

$x^2+257=y^t$ и

$2\le t\le 48$ . Докажите, что число

$t$ — простое. ( А. Васильев )
комментарий/решение(9) олимпиада

Задача №34. Найдите все простые числа

$p$ , для которых существуют целые числа

$m$ и

$n$ , удовлетворяющие условиям

$p = m^2 + n^2$ и

$p\ |\ m^3 + n^3 - 4$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №35. Биссектриса угла

$C$ прямоугольного треугольника

$ABC$ пересекает гипотенузу

$AB$ в точке

$D$ и точка

$M$ — середина

$AD$ . На

$CD$ как на стороне построен квадрат

$CDEF$ так, что точки

$A$ и

$F$ лежат по разные стороны от прямой

$CD$ . Докажите, что

$\angle ACM=\angle FAC$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №36. Натуральные числа

$a,b,c$ таковы, что

$a^2=b^3+ab$ и

$c^3=a+b+c$ . Докажите, что

$a=bc$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №37. Окружность диаметра

$d$ вписана в выпуклый четырёхугольник

$ABCD$ и касается сторон

$BC$ и

$DA$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон

$AB$ и

$CD$ равно отрезку

$KL$ тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон

$AB$ и

$CD$ равно

$d$ . (Средним гармоническим положительных чисел

$a$ и

$b$ называется число

$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$ , а средним геометрическим — число

$\sqrt{ab}$ .) ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №38. a) Если к десятичной записи простого числа

$p$ приписать слева двойку, то получится простое число. Если же, вместо этого, приписать к ней единицу справа, то снова выйдет десятичная запись какого-то простого. Найдите все такие

$p$ .
b) Существует ли такое простое число, что если приписать к его десятичной записи слева число 2025 сколько угодно раз, всегда будет получаться простое? ( А. Васильев )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №39.

$2k$ -значное натуральное число

$n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$

$(a_{2k-1}\ne 0)$ назовем особенным, если

$n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2.$ Например, числа

$81=(8+1)^2$ и

$9801=(98+01)^2$ — особенные.
a) Найдите все особенные четырехзначные числа.
b) Докажите, что для любого натурального

$k$ существует по крайней мере одно особенное

$2k$ -значное число. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №40. Правильный шестиугольник

$ABCDEF$ вписан в окружность

$\omega$ . Прямые

$t_1$ и

$t_2$ параллельны

$AD$ и касаются

$\omega$ в точках

$G$ и

$H$ , соответственно.

$GH$ пересекает

$BC$ и

$EF$ в точках

$I$ и

$J$ , соответственно. Прямая

$t_3$ касается

$\omega$ и пересекает

$t_1$ и

$t_2$ в точках

$K$ и

$L$ , соответственно.

$KH$ и

$LG$ пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что

$MI+MJ=GH$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №41. Найдите все пары

$(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющих уравнению

$\left(x^3+\frac{1}{x}\right)\left(y^3+\frac{1}{y}\right)=4(x^2-y^2).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №42. Пусть

$s(n)=1+2+\ldots+n$ , а

$S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ есть множество всех квадратов натуральных чисел. Определим последовательность таким образом, что

$a_1=1$ и

$a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$ для всех натуральных

$n$ . Докажите, что

$a_k$ делится на

$a_l$ тогда, и только тогда, когда

$k$ делится на

$l$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №43. Пусть

$s(n)=1+2+\ldots+n$ , а

$a_1=1$ и

$a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$ для всех натуральных

$n$ . Докажите, что

$a_k$ делится на

$a_l$ тогда, и только тогда, когда

$k$ делится на

$l$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение олимпиада