Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс


Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Обозначим через D основание высоты, опущенной из A на BC, через E — точку пересечения AD и CO. Пусть M — середина AE, а точка F — основание перпендикуляра, опущенного из C на AO. Докажите, что точка пересечения прямых OM и BC лежит на описанной окружности треугольника BOF. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -2
8 года 4 месяца назад #

h_Рисунок@http://rgho.st/8KjwJpxFz_h

Так как ADC=AFC=90 , значит точки A,D,F,C лежат на одной окружности , положим OAC=ACO=a и DCF=BCF=DAF=MAO=b откуда ABC=1802a2=90a , так как O центр окружности , значит BAD=a , так как ADBC . Точка NMOBC , надо доказать , что N лежит на описанной окружности треугольника BOF. То что N лежит на одной окружности с вышеупомянутыми точками , вытекает из того , что ΔAMO и ΔBFC подобны , так как AOM=FON=FBN , а MAO=BCF=b . То есть надо доказать соотношение AOAM=BCCF , либо тоже самое что 2AOAE=BCCF так как по условию M середина AE. Заметим что AOE=90(902a)=2a , тогда из треугольника AOE получаем 2AOAE=2sin(b+2a)sin2a , но с другой стороны из прямоугольного треугольника ACF получим CFsina=AC , так же из треугольника ABC , получим ACcosa=BCsin(2a+b) подставляя CFsina=BCcosasin(2a+b) , то есть AOAM=BCCF значит треугольники AMO,BFC действительно подобны , откуда N лежит на описанной окружности ΔBOF .

пред. Правка 2   2
7 месяца 3 дней назад #

U точка бесконечности прямой AD, L середина BC, и пусть POMBC, QAOBC. Тогда O(A,E,M,U)O(Q,C,P,L)=1. Следовательно, P,F ортогональная проекция Q на OC коллинеарны. Прямые PF,BC антипараллельны относительно прямых OA,OC. Поэтому:

FPQ=OQCOCB=(B+90C)(90A)=1802C

FPQ=BOF=1802C P(BOF)

Решение от Luis González. Его решение на сайте AoPS.