Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс
Задача №1. Известно, что для натурального числа n существует натуральное число a такое, что a^{n-1}\equiv 1 \pmod n,
а для любого простого делителя p числа n-1 верно, что a^{(n-1)/p}\equiv 1 \pmod n.
Докажите, что n — простое.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. В результате операции сцепления, примененной к последовательности (x_1, x_2, \ldots, x_n),
получается последовательность
(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1).
Для каких натуральных n > 1 из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел 1 и -1, всегда можно получить последовательность (1, 1, \ldots,1) применением конечного числа операций сцепления?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD существуют точки M и N такие, что
\angle NAD =\angle MAB, \angle NBC = \angle MBA, \angle MCB = \angle NCD, \angle NDA = \angle MDC.
Докажите, что S(ABM) + S(ABN) + S(CDM) + S(CDN) =S(BCM) + S(BCN) + S(ADM) + S(ADN),
где S(XYZ) — площадь треугольника XYZ.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Для неотрицательных чисел x, y докажите неравенство \sqrt{x^{2}-x+1}\sqrt{y^{2}-y+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}\sqrt{y^{2}+y+1}\geq 2(x+y).
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №5. Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Обозначим через D основание высоты, опущенной из A на BC, через E — точку пересечения AD и CO. Пусть M — середина AE, а точка F — основание перпендикуляра, опущенного из C на AO. Докажите, что точка пересечения прямых OM и BC лежит на описанной окружности треугольника BOF.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр 0, 1, 2. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде A^2 + B, где A — целое, а B — число года.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)