Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс

Задача №1.  Известно, что для натурального числа $n$ существует натуральное число $a$ такое, что $a^{n-1}\equiv 1 \pmod n$, а для любого простого делителя $p$ числа $n-1$ верно, что $a^{(n-1)/p}\equiv 1 \pmod n$. Докажите, что $n$ — простое.
комментарий/решение(4)

---

Задача №2.  В результате операции сцепления, примененной к последовательности $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, получается последовательность $$ (x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1). $$ Для каких натуральных $n > 1$ из любой начальной последовательности, состоящей только из чисел 1 и $-1$, всегда можно получить последовательность $(1, 1, \ldots,1)$ применением конечного числа операций сцепления?
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ существуют точки $M$ и $N$ такие, что $\angle NAD =\angle MAB$, $\angle NBC = \angle MBA$, $\angle MCB = \angle NCD$, $\angle NDA = \angle MDC.$ Докажите, что $S(ABM) + S(ABN) + S(CDM) + S(CDN) =S(BCM) + S(BCN) + S(ADM) + S(ADN),$ где $S(XYZ)$ — площадь треугольника $XYZ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Для неотрицательных чисел $x$, $y$ докажите неравенство $\sqrt{x^{2}-x+1}\sqrt{y^{2}-y+1}+\sqrt{x^{2}+x+1}\sqrt{y^{2}+y+1}\geq 2(x+y).$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7)

---

Задача №5.  Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Обозначим через $D$ основание высоты, опущенной из $A$ на $BC$, через $E$ — точку пересечения $AD$ и $CO$. Пусть $M$ — середина $AE$, а точка $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $C$ на $AO$. Докажите, что точка пересечения прямых $OM$ и $BC$ лежит на описанной окружности треугольника $BOF$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Назовем числами года неотрицательные целые числа, десятичная запись которых состоит только из цифр $0, 1, 2$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $A^2 + B$, где $A$ — целое, а $B$ — число года. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

---