Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

$n$ натурал саны үшін

$a^{n-1} \equiv 1 \pmod {n}$ салыстыруы орындалатындай және

$n-1$ санының кез келген

$p$ жай бөлгіші үшін

$a^{(n-1)/p} \not\equiv 1 \pmod{n}$ орындалатындай

$a$ натурал саны табылатыны белгілі. Олай болса,

$n$ саны жай екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ тізбегіне іліністіру амалын қолдансақ,

$(x_1x_2, x_2x_3, \ldots, x_nx_1)$ тізбегін аламыз. Қандай натурал

$n > 1$ сандары үшін

$1$ және

$-1$ сандарынан тұратын кез келген бастапқы тізбектен іліністіру амалын бірнеше рет қолданып, әрқашан

$(1, 1, \ldots, 1)$ тізбегін алуға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Дөңес

$ABCD$ төртбұрыш ішінде келесі теңдіктер орындалатындай

$M$ және

$N$ нүктелері белгіленген:

$\angle NAD= \angle MAB$ ,

$\angle NBC=\angle MBA$ ,

$\angle MCB=\angle NCD$ ,

$\angle NDA=\angle MDC.$ Егер

$S_{XYZ}$ арқылы

$XYZ$ үшбұрышының ауданын белгілесек, онда

$S_{ABM}+S_{ABN}+S_{CDM}+S_{CDN}=S_{BCM}+S_{BCN}+S_{ADM}+S_{ADN},$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Теріс емес

$x, y$ сандары үшін теңсіздікті дәлелдеңдер:

$\sqrt{x^2 - x + 1}\sqrt{y^2 - y + 1} + \sqrt{x^2 + x + 1}\sqrt{y^2 + y + 1} \ge 2(x + y).$ ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(7)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрін

$O$ деп белгілейік.

$A$ төбесінен

$BC$ табанына түсірілген биіктіктің табаны

$D$ нүктесі болсын, ал

$AD$ және

$CO$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$E$ болсын.

$M$ нүктесі —

$AE$ кесіндісінің ортасы, ал

$F$ нүктесі —

$C$ -дан

$AO$ -ға түсірілген перпендикулярдың табаны.

$OM$ және

$BC$ түзулерінің қиылысу нүктесі

$BOF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің үстінде жататынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Жыл саны деп ондық жазбасы тек қана

$0, 1, 2$ цифрларынан құралған кез келген бүтін оң санды айтайық.

$A^2 + B$ түрінде келтіруге болмайтын шексіз көп натурал сан табылатынын дәлелдеңдер, мұндағы

$A$ — бүтін сан, ал

$B$ — жыл саны. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)

результаты