Республиканская олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс


Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ существуют точки $M$ и $N$ такие, что $\angle NAD =\angle MAB$, $\angle NBC = \angle MBA$, $\angle MCB = \angle NCD$, $\angle NDA = \angle MDC.$ Докажите, что $S(ABM) + S(ABN) + S(CDM) + S(CDN) =S(BCM) + S(BCN) + S(ADM) + S(ADN),$ где $S(XYZ)$ — площадь треугольника $XYZ$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

Определим точки $M_{ab}$ и $N_{ab}$ как точки симметричные точкам $M$ и $N$ относительно прямой $AB$ соответственно. А точку $X_{ab}$ определим как точку пересечения отрезков $NM_{ab}$ и $MN_{ab}$. Аналогично определим остальные точки рисунка выше. Из симметрии заметим, что $X_{ab} \in AB$. Понятно, что $\triangle AMN_{ab} = \triangle ANM_{ad}$. Это следует из равенств $AN=AN_{ab}$, $AM=AM_{ad}$ и равенства $\angle MAN_{ab} = \angle NAM_{ad}$, которое следует из условия задачи. Следовательно, и площади этих треугольников также равны. Обозначим через $(XYZ)$ площадь треугольника $XYZ$. Тогда $\left( {AM{N_{ab}}} \right) = \left( {AN{M_{ad}}} \right)$. Из симметрии, последнее равенство можно переписать в виде: \[\left( {AM{X_{ab}}} \right) + \left( {AN{X_{ab}}} \right) = \left( {AN{X_{ad}}} \right) + \left( {AM{X_{ad}}} \right).\] Аналогично получим остальные равенства: \[\left( {BM{X_{ab}}} \right) + \left( {BN{X_{ab}}} \right) = \left( {BN{X_{bc}}} \right) + \left( {BM{X_{bc}}} \right);\] \[\left( {CN{X_{cd}}} \right) + \left( {CM{X_{cd}}} \right) = \left( {CM{X_{bc}}} \right) + \left( {CN{X_{bc}}} \right);\] \[\left( {DM{X_{cd}}} \right) + \left( {DN{X_{cd}}} \right) = \left( {DN{X_{ad}}} \right) + \left( {DM{X_{ad}}} \right);\] Осталось заметить, что требуемое равенство в условии следует из суммы последних четырех равенств.