Решения: Республикалық олимпиада, Қорытынды кезең

Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

Дөңес

$ABCD$ төртбұрыш ішінде келесі теңдіктер орындалатындай

$M$ және

$N$ нүктелері белгіленген:

$\angle NAD= \angle MAB$ ,

$\angle NBC=\angle MBA$ ,

$\angle MCB=\angle NCD$ ,

$\angle NDA=\angle MDC.$ Егер

$S_{XYZ}$ арқылы

$XYZ$ үшбұрышының ауданын белгілесек, онда

$S_{ABM}+S_{ABN}+S_{CDM}+S_{CDN}=S_{BCM}+S_{BCN}+S_{ADM}+S_{ADN},$ екенін дәлелдеңдер.

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.

Определим точки

$M_{ab}$ и

$N_{ab}$ как точки симметричные точкам

$M$ и

$N$ относительно прямой

$AB$ соответственно. А точку

$X_{ab}$ определим как точку пересечения отрезков

$NM_{ab}$ и

$MN_{ab}$ . Аналогично определим остальные точки рисунка выше. Из симметрии заметим, что

$X_{ab} \in AB$ . Понятно, что

$\triangle AMN_{ab} = \triangle ANM_{ad}$ . Это следует из равенств

$AN=AN_{ab}$ ,

$AM=AM_{ad}$ и равенства

$\angle MAN_{ab} = \angle NAM_{ad}$ , которое следует из условия задачи. Следовательно, и площади этих треугольников также равны. Обозначим через

$(XYZ)$ площадь треугольника

$XYZ$ . Тогда

$\left( {AM{N_{ab}}} \right) = \left( {AN{M_{ad}}} \right)$ . Из симметрии, последнее равенство можно переписать в виде:

$\left( {AM{X_{ab}}} \right) + \left( {AN{X_{ab}}} \right) = \left( {AN{X_{ad}}} \right) + \left( {AM{X_{ad}}} \right).$ Аналогично получим остальные равенства:

$\left( {BM{X_{ab}}} \right) + \left( {BN{X_{ab}}} \right) = \left( {BN{X_{bc}}} \right) + \left( {BM{X_{bc}}} \right);$

$\left( {CN{X_{cd}}} \right) + \left( {CM{X_{cd}}} \right) = \left( {CM{X_{bc}}} \right) + \left( {CN{X_{bc}}} \right);$

$\left( {DM{X_{cd}}} \right) + \left( {DN{X_{cd}}} \right) = \left( {DN{X_{ad}}} \right) + \left( {DM{X_{ad}}} \right);$ Осталось заметить, что требуемое равенство в условии следует из суммы последних четырех равенств.