Математикадан республикалық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып


Дөңес $ABCD$ төртбұрыш ішінде келесі теңдіктер орындалатындай $M$ және $N$ нүктелері белгіленген: $\angle NAD= \angle MAB$, $\angle NBC=\angle MBA$, $\angle MCB=\angle NCD$, $\angle NDA=\angle MDC.$ Егер $S_{XYZ}$ арқылы $XYZ$ үшбұрышының ауданын белгілесек, онда $$S_{ABM}+S_{ABN}+S_{CDM}+S_{CDN}=S_{BCM}+S_{BCN}+S_{ADM}+S_{ADN},$$ екенін дәлелдеңдер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    

Определим точки $M_{ab}$ и $N_{ab}$ как точки симметричные точкам $M$ и $N$ относительно прямой $AB$ соответственно. А точку $X_{ab}$ определим как точку пересечения отрезков $NM_{ab}$ и $MN_{ab}$. Аналогично определим остальные точки рисунка выше. Из симметрии заметим, что $X_{ab} \in AB$. Понятно, что $\triangle AMN_{ab} = \triangle ANM_{ad}$. Это следует из равенств $AN=AN_{ab}$, $AM=AM_{ad}$ и равенства $\angle MAN_{ab} = \angle NAM_{ad}$, которое следует из условия задачи. Следовательно, и площади этих треугольников также равны. Обозначим через $(XYZ)$ площадь треугольника $XYZ$. Тогда $\left( {AM{N_{ab}}} \right) = \left( {AN{M_{ad}}} \right)$. Из симметрии, последнее равенство можно переписать в виде: \[\left( {AM{X_{ab}}} \right) + \left( {AN{X_{ab}}} \right) = \left( {AN{X_{ad}}} \right) + \left( {AM{X_{ad}}} \right).\] Аналогично получим остальные равенства: \[\left( {BM{X_{ab}}} \right) + \left( {BN{X_{ab}}} \right) = \left( {BN{X_{bc}}} \right) + \left( {BM{X_{bc}}} \right);\] \[\left( {CN{X_{cd}}} \right) + \left( {CM{X_{cd}}} \right) = \left( {CM{X_{bc}}} \right) + \left( {CN{X_{bc}}} \right);\] \[\left( {DM{X_{cd}}} \right) + \left( {DN{X_{cd}}} \right) = \left( {DN{X_{ad}}} \right) + \left( {DM{X_{ad}}} \right);\] Осталось заметить, что требуемое равенство в условии следует из суммы последних четырех равенств.