Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

Докажите, что для любого натурального $n$ на отрезке $[n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n}]$ найдется число, представимое в виде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение основано на применении дважды следующей леммы: $$ {}$$ ЛЕММА. Для любого неотрицательного целого числа $k$ существует такое неотрицательное целое число $x$, что $0\leq k-{{x}^{3}}\leq 3{{k}^{2/3}}$. $$ {} $$ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для $k=0$ все очевидно. Пусть теперь $k\geq 1$, тогда ${{l}^{3}}\leq k\leq {{l}^{3}}+3{{l}^{2}}+3l$, где $l=[ \sqrt[3]{k}] \geq 1$. Если $k\leq {{\left( l+\frac{1}{2} \right)}^{3}}={{l}^{3}}+\frac{3}{2}{{l}^{2}}+\frac{3}{4}l+\frac{1}{8}$, то $0\leq k-{{l}^{3}}\leq 3{{l}^{2}}\leq 3{{k}^{2/3}}$. Если же $k\geq {{\left( l+\frac{1}{2} \right)}^{3}}$, то $0\leq k-{{l}^{3}}\leq 3{{l}^{2}}+3l\leq 3{{\left( l+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\leq 3{{k}^{2/3}}$. Лемма доказана. $$ {}$$ Согласно лемме, для любого неотрицательного целого числа $m$ существуют такие неотрицательные целые числа $x$, $y$, что $$ 0\leq m-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}\leq 3{{\left( 3{{m}^{2/3}} \right)}^{2/3}}. $$ Заметим также, что $3{{\left( 3{{m}^{2/3}} \right)}^{2/3}}\leq 6\sqrt{m}$ при $m\geq 3$. Для $m\in \left\{ 0,~1,~2 \right\}$ можно подобрать такие $x,~y$, что $m-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}=0$. Итак, для любого неотрицательного целого числа $m$ существуют такие неотрицательные целые числа $x,~y$, что $0\leq m-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}\leq 6\sqrt{m}$. Иными словами, при любом неотрицательном целом $m$ на отрезке $\left[ m-6\sqrt{m},~m \right]$ имеется число вида ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$, где $x$ и $y$ — неотрицательные целые числа. Тогда при $n\geq 43$ утверждение задачи следует из неравенства $$ n-4\sqrt{n}\leq n+\left[ 4\sqrt{n} \right]-6\sqrt{n+\left[ 4\sqrt{n} \right]}, $$ для $n\geq 43$. Действительно, $$ 4\sqrt{n}+\left[ 4\sqrt{n} \right]\geq 8\sqrt{n}-1\geq 6\left( \sqrt{n}+2 \right)\geq 6\sqrt{n+\left[ 4\sqrt{n} \right]}. $$ Осталось доказать утверждение задачи для $n\leq 42$. $\\$ В случае $n\leq 16$ отрезок $\left[ n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n} \right]$ содержит число $0={{0}^{3}}+{{0}^{3}}$, поэтому рассмотрим сразу случай $17\leq n\leq 42$. Тогда отрезок $\left[ n-4\sqrt{n},~n+4\sqrt{n} \right]$ содержит по крайней мере $8\sqrt{n}\geq 32$ последовательных натуральных числа, при этом $n+4\sqrt{n}\leq 68$. Выпишем все числа от $1$ до $68$, представимые в виде суммы двух кубов неотрицательных целых чисел: 1, 2, 8, 9, 16, 27, 28, 35, 54, 64, 65. Отсюда видно, что в диапазоне $\left[ 1,~68 \right]$ любой отрезок из 32 последовательных натуральных чисел содержит по крайней мере одно из указанных чисел.