Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс


Задача №1.  Пусть a1, a2, , a2014 — перестановка чисел 1, 2, , 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел a21+a2, a22+a3, , a22013+a2014, a22014+a1 могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n числа an+nb и bn+na взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Треугольник ABC вписан в окружность Γ. Вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке N. ω — окружность, вписанная в сегмент BAC окружности Γ, и проходящая через точку N. Пусть точки O и J — центры окружностей ω и вневписанной окружности (касающейся стороны BC), соответственно. Докажите, что прямые AO и JN параллельны. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(4)
Задача №4.  В неравнобедренном треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках C1 и A1 соответственно, а вневписанная окружность (касающаяся стороны AC) — соответственно в точках C2 и A2. Точка N — основание биссектрисы из вершины B. Прямая A1C1 пересекают прямую AC в точке K1. Пусть описанная окружности треугольника BK1N повторно пересекают описанную окружность треугольника ABC в точке P1. Аналогично определим точки K2 и P2. Докажите, что AP1=CP2. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Обозначим через Q множество всех рациональных чисел. Найдите все функции f:Q×QQ, удовлетворяющие для любых рациональных чисел x,y,z равенству f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(0,x+y+z). ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Докажите, что для любого натурального n на отрезке [n4n, n+4n] найдется число, представимое в виде x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)
результаты