Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс
Задача №1. Пусть a1, a2, …, a2014 — перестановка чисел 1, 2, …, 2014.
Какое наибольшее количество чисел среди чисел
a21+a2, a22+a3, …, a22013+a2014, a22014+a1
могут быть точными квадратами?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n
числа an+nb и bn+na взаимно просты?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Треугольник ABC вписан в окружность Γ. Вписанная в треугольник окружность касается стороны BC в точке N. ω — окружность, вписанная в сегмент BAC окружности Γ, и проходящая через точку N. Пусть точки O и J — центры окружностей ω и вневписанной окружности (касающейся стороны BC), соответственно. Докажите, что прямые AO и JN параллельны.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. В неравнобедренном треугольнике ABC вписанная окружность
касается сторон AB и BC в точках C1 и A1 соответственно,
а вневписанная окружность (касающаяся стороны AC) — соответственно
в точках C2 и A2.
Точка N — основание биссектрисы из вершины B.
Прямая A1C1 пересекают прямую AC в точке K1. Пусть описанная
окружности треугольника BK1N повторно пересекают описанную окружность треугольника ABC в точке P1.
Аналогично определим точки K2 и P2. Докажите, что AP1=CP2.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Обозначим через Q множество всех рациональных чисел. Найдите все функции f:Q×Q→Q, удовлетворяющие для любых рациональных чисел x,y,z равенству f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(0,x+y+z).
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Докажите, что для любого натурального n на отрезке
[n−4√n, n+4√n] найдется число, представимое в виде x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)