қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2, $\ldots$, 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын. $a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Барлық натурал $n$ үшін, ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал $a$ және $b$ сандары табылады ма?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышы $\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер $BC$ қабырғасын $N$ нүктеде жанайды. $\omega $ — $N$ арқылы өтетін және $\Gamma$ шеңберінің $BAC$ сегментіне іштей сызылған шеңбер болсын. $O$ мен $J$ нүктелері сәйкесінше $\omega $ мен $ABC$-ның $BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрлері болсын. $AO$ мен $JN$ түзулері параллель екенін дәлелдеңдер.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №4. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ мен $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_1$ мен $A_1$, ал іштейсырт сызылған шеңбер ($AC$ қабырғасын жанайтын) $AB$ мен $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $C_2$ мен $A_2$ нүктелерінде жанайды. $N$ нүктесі $B$ төбесінен жүргізілген биссектриса табаны. $A_1C_1$ және $A_2C_2$ түзулері $AC$ түзуін сәйкесінше $K_1$ және $K_2$ нүктелерінде қияды. $BK_1N$ және $BK_2N$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше $P_1$ және $P_2$ нүктелерінде қисын. $AP_1=CP_2$ екенін дәлелде.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\mathbb{Q} $ арқылы барлық рационал сандар жиынын белгілейік. Кез келген рационал $x$, $y$, $z$ сандары үшін $$f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right)$$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ функцияларын табыңдар.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Кез келген натурал $n$ саны үшін, $\left[ n-4\sqrt{n}, n+4\sqrt{n} \right]$ кесіндісінде ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ түрінде келетін сан табылатынын дәлелде, бұл жерде $x$ пен $y$ — теріс емес бүтін сандар.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)