Математикадан республикалық олимпиада, 2013-2014 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1.

${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2,

$\ldots$ , 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын.

$a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$ ,

$a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$ ,

$a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Барлық натурал

$n$ үшін,

${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және

${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал

$a$ және

$b$ сандары табылады ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышы

$\Gamma$ шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер

$BC$ қабырғасын

$N$ нүктеде жанайды.

$\omega$ —

$N$ арқылы өтетін және

$\Gamma$ шеңберінің

$BAC$ сегментіне іштей сызылған шеңбер болсын.

$O$ мен

$J$ нүктелері сәйкесінше

$\omega$ мен

$ABC$ -ның

$BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрлері болсын.

$AO$ мен

$JN$ түзулері параллель екенін дәлелдеңдер. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(4)

Есеп №4. Теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ мен

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_1$ мен

$A_1$ , ал іштейсырт сызылған шеңбер (

$AC$ қабырғасын жанайтын)

$AB$ мен

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$C_2$ мен

$A_2$ нүктелерінде жанайды.

$N$ нүктесі

$B$ төбесінен жүргізілген биссектриса табаны.

$A_1C_1$ және

$A_2C_2$ түзулері

$AC$ түзуін сәйкесінше

$K_1$ және

$K_2$ нүктелерінде қияды.

$BK_1N$ және

$BK_2N$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді екінші рет сәйкесінше

$P_1$ және

$P_2$ нүктелерінде қисын.

$AP_1=CP_2$ екенін дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\mathbb{Q}$ арқылы барлық рационал сандар жиынын белгілейік. Кез келген рационал

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандары үшін

$f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ функцияларын табыңдар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Кез келген натурал

$n$ саны үшін,

$\left[ n-4\sqrt{n}, n+4\sqrt{n} \right]$ кесіндісінде

${{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ түрінде келетін сан табылатынын дәлелде, бұл жерде

$x$ пен

$y$ — теріс емес бүтін сандар. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

результаты