Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс


В неравнобедренном треугольнике ABC вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках C1 и A1 соответственно, а вневписанная окружность (касающаяся стороны AC) — соответственно в точках C2 и A2. Точка N — основание биссектрисы из вершины B. Прямая A1C1 пересекают прямую AC в точке K1. Пусть описанная окружности треугольника BK1N повторно пересекают описанную окружность треугольника ABC в точке P1. Аналогично определим точки K2 и P2. Докажите, что AP1=CP2. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Не теряя общности положим BC>AB. Пусть M — середина AC, а BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке Q. Пусть вписанная в вневписанная окружности касаются AC в точках B1 и B2 соответственно.

Известным фактом является то, что AC1=AB1=CB2=CA2=(AB+ACBC)/2. Заметим, что K1C1A2K2 и K1C1A+CA2K2=180. Применив теорему синусов для K1C1A и CA2K2 получим AK1=sinK1C1AAC1sinC1K1A=sinCA2K2CA2sinCK2A2=CK2. Также заметим, что точки Q, P1 и K1 лежат на одной прямой, так как K1P1B+BP1Q=K1NB+BAQ=C+B/2+A+B/2=180. Аналогично, точки Q, P2 и K2 лежат на одной прямой. Значит, K1QK2 — равнобедренный треугольник. Поэтому QP1QK1=QNQB=QP2QK2, откуда QP1=QP2. Из последнего равенства следует утверждение задачи.