Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: f(u,v)=a(v2+2uv)+bv, где a,b — фиксированные рациональные числа.
A) x=0, y=0, z=t ⇒ f(t,0)=0, ∀ t∈Q;
B) x=v, y=0, z=u ⇒ f(u,v)=f(0,u+v)−f(0,u), ∀ u,v∈Q;
C)
g(s)=f(0,s) ⇒ g(0)=0, f(u,v)=g(u+v)−g(u), ∀ u,v∈Q;
D) g(x+y)+g(y+z)+g(z+x)=g(x)+g(y)+g(z)+g(x+y+z), ∀ x, y, z∈Q;
E) x=ns, y=s, z=−s ⇒ g((n+1)s)+g((n−1)s)=2g(ns)+g(s)+g(−s), ∀ n∈Z,
s∈Q;
F) g(ns)=(n2+n)2g(s)+(n2−n)2g(−s), ∀ n∈Z, s∈Q (по индукции из F);
G) {g(1)=(n2+n)2g(1n)+(n2−n)2g(−1n);g(−1)=(n2+n)2g(−1n)+(n2−n)2g(1n);
⇒
{g(1n)=(1n2+1n)2g(1)+(1n2−1n)2g(−1);g(−1n)=(1n2+1n)2g(−1)+(1n2−1n)2g(1);
H)
g(q)=g(mn)=(m2+m)2g(1n)+(m2−m)2g(−1n)=(q2+q)2g(1)+(q2−q)2g(−1) (из G и H);
I) g(q)=aq2+bq ⇒ f(u,v)=g(u+v)−g(u)= a(v2+2uv)+bv.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.