Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс


Обозначим через Q множество всех рациональных чисел. Найдите все функции f:Q×QQ, удовлетворяющие для любых рациональных чисел x,y,z равенству f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(0,x+y+z). ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: f(u,v)=a(v2+2uv)+bv, где a,b — фиксированные рациональные числа.
A) x=0, y=0, z=t f(t,0)=0,   tQ;
B) x=v, y=0, z=u f(u,v)=f(0,u+v)f(0,u),   u,vQ;
C) g(s)=f(0,s)  g(0)=0, f(u,v)=g(u+v)g(u),   u,vQ;
D) g(x+y)+g(y+z)+g(z+x)=g(x)+g(y)+g(z)+g(x+y+z), x, y, zQ;
E) x=ns, y=s, z=s g((n+1)s)+g((n1)s)=2g(ns)+g(s)+g(s),  nZ, sQ;
F) g(ns)=(n2+n)2g(s)+(n2n)2g(s),  nZ, sQ (по индукции из F);
G) {g(1)=(n2+n)2g(1n)+(n2n)2g(1n);g(1)=(n2+n)2g(1n)+(n2n)2g(1n);  {g(1n)=(1n2+1n)2g(1)+(1n21n)2g(1);g(1n)=(1n2+1n)2g(1)+(1n21n)2g(1);
H) g(q)=g(mn)=(m2+m)2g(1n)+(m2m)2g(1n)=(q2+q)2g(1)+(q2q)2g(1) (из G и H);
I) g(q)=aq2+bq  f(u,v)=g(u+v)g(u)= a(v2+2uv)+bv.