Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 11 класс

Обозначим через $\mathbb{Q} $ множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$, удовлетворяющие для любых рациональных чисел $x,y,z$ равенству $f\left( x,y \right)+f\left( y,z \right)+f\left( z,x \right)=f\left( 0,x+y+z \right).$ ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: $f\left( u,v \right)=a\left( {{v}^{2}}+2uv \right)+bv$, где $a,b$ — фиксированные рациональные числа. $${}$$
A) $x=0$, $y=0$, $z=t$ $\Rightarrow$ $f\left( t,0 \right)=0,~~\forall~ t\in \mathbb{Q}$;
B) $x=v$, $y=0$, $z=u$ $\Rightarrow$ $f\left( u,v \right)=f\left( 0,u+v \right)-f\left( 0,u \right),~~\forall~ u,v\in \mathbb{Q}$;
C) $g\left( s \right)=f\left( 0,s \right)~\Rightarrow ~g\left( 0 \right)=0,~f\left( u,v \right)=g\left( u+v \right)-g\left( u \right),~~\forall~ u,v\in \mathbb{Q}$;
D) $g\left( x+y \right)+g\left( y+z \right)+g\left( z+x \right)=g\left( x \right)+g\left( y \right)+g\left( z \right)+g\left( x+y+z \right)$, $\forall$ $x$, $y$, $z\in \mathbb{Q}$;
E) $x=ns$, $y=s$, $z=-s$ $\Rightarrow$ $g\left( \left( n+1 \right)s \right)+g\left( \left( n-1 \right)s \right)=2g\left( ns \right)+g\left( s \right)+g\left( -s \right)$, $\forall~ n\in \mathbb{Z}$, $s\in \mathbb{Q}$;
F) $g\left( ns \right)=\dfrac{\left( {{n}^{2}}+n \right)}{2}g\left( s \right)+\dfrac{\left( {{n}^{2}}-n \right)}{2}g\left( -s \right)$, $\forall~ n\in \mathbb{Z},~s\in \mathbb{Q}$ (по индукции из F);
G) $\left\{ \begin{matrix} g\left( 1 \right)=\dfrac{\left( {{n}^{2}}+n \right)}{2}g\left( \dfrac{1}{n} \right)+\dfrac{\left( {{n}^{2}}-n \right)}{2}g\left( -\dfrac{1}{n} \right); \\ g\left( -1 \right)=\dfrac{\left( {{n}^{2}}+n \right)}{2}g\left( -\dfrac{1}{n} \right)+\dfrac{\left( {{n}^{2}}-n \right)}{2}g\left( \dfrac{1}{n} \right); \end{matrix} \right.~$ $\Rightarrow$ $\quad$ $\left\{ \begin{matrix} g\left( \dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{n} \right)}{2}g\left( 1 \right)+\dfrac{\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{1}{n} \right)}{2}g\left( -1 \right); \\ g\left( -\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{n} \right)}{2}g\left( -1 \right)+\dfrac{\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{1}{n} \right)}{2}g\left( 1 \right); \end{matrix} \right.$
H) $g\left( q \right)=g\left( \dfrac{m}{n} \right)=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+m \right)}{2}g\left( \dfrac{1}{n} \right)+\dfrac{\left( {{m}^{2}}-m \right)}{2}g\left( -\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{\left( {{q}^{2}}+q \right)}{2}g\left( 1 \right)+\dfrac{\left( {{q}^{2}}-q \right)}{2}g\left( -1 \right)$ (из G и H);
I) $g\left( q \right)=a{{q}^{2}}+bq~\Rightarrow ~f\left( u,v \right)=g\left( u+v \right)-g\left( u \right)=~a\left( {{v}^{2}}+2uv \right)+bv$.

Перейдем сразу к тому что:

$g(x+y)+g(y+z)+g(x+z)=g(x+y+z)+g(x)+g(y)+g(z)$

Заменим $g(x)+g(-x)=A$. Рассмотрим каждый $n \in Z$ целый и $x \in Q$

$P((n-1)x,x,-x):$

$g(nx)=2g((n-1)x)+g((n-2)x)+A=3g((n-2)x)+2g((n-3)x)+3A=…=ng(x)+(n-1)g(0)+\dfrac{n^2-n}{2}A$ и так как $g(0)=f(0,0)=0 \Longrightarrow$

$g(nx)=ng(x)+\dfrac{n^2-n}{2}(g(x)+g(-x)) \Longrightarrow g(xn)=\dfrac{g(x)+g(-x)}{2}n^2+\dfrac{g(x)-g(-x)}{2}n$.

Пусть $G(x)=g(x)+g(-x)$ и $Q(x)=g(x)-g(-x).$

Тогда заметим что $G(nx)=n^2G(x)$ и $Q(nx)=nQ(x)$.

1) $Q(x)=Q(1)x$ $\forall x \in Q$.

Док-во: Очевидно что для $x$ целого это верно (взяв $x=1$ и $n=x$). Тогда $f(q \cdot \dfrac{p}{q})=q \cdot f(\dfrac{p}{q})=f(p)=f(1) \cdot p \Longrightarrow f(\dfrac{p}{q})=\dfrac{p}{q} \cdot f(1)$ доказано.

2) $G(1)x^2=G(x)$.

Док-во: аналогично первому случаю

$f(q \cdot \dfrac{p}{q})=q^2 \cdot f(\dfrac{p}{q})=f(p)=f(1) \cdot p^2 \Longrightarrow f(\dfrac{p}{q})=\dfrac{p^2}{q^2} \cdot f(1)$.

Из этих фактов следует что:

$g(x)+g(-x)=x^2(g(1)+g(-1))=x^2c_1$

$g(x)-g(-x)=x(g(1)-g(-1))=xc_2$

Суммируеми получаем:

$g(x)=x^2c_1+xc_2$ и очевидно получаем что $f(x,y)=c_1(x^2+2xy)+yc_2.$