қазақша
русскийИльясов С.
Задача №1. Две пересекающиеся в точках $X$ и $Y$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ находятся внутри окружности $\Omega$ и касаются ее в точках $A$ и $B$. Прямая $AB$ повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A_1$ и $B_1$, соответственно. Вписанная в криволинейный треугольник $A_1B_1X$ окружность касается стороны $A_1B_1$ в точке $Z$. Докажите, что $\angle AXZ=\angle BXZ$.
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №2. Клетчатую таблицу $n \times n$ (где $n \geq 2$) покрывают уголками, состоящими из трёх единичных клеток (уголок можно неоднократно поворачивать на $90{}^\circ $) так, чтобы выполнялись следующие условия:
1) каждая клетка таблицы покрыта хотя бы одним из уголков;
2) две соседние по стороне клетки, покрытые одним уголком, не могут быть одновременно покрыты другим.
Каково наибольшее возможное число уголков в таком покрытии? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №3. Найдите все такие пары натуральных чисел $(n,k)$, что число $(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ является полным квадратом. ( Ильясов С., Овчинников Д. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №4. На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, которые пересекающиеся по двум точкам из данного множества. ( Ильясов С. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №5. На плоскости заданы 2015 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и никакие четыре на одной окружности. Рассмотрим окружности, проходящие через три точки из данного множества и разбивающие остальные пополам, то есть 1006 лежит внутри окружности, а 1006 вне нее. Докажите, что найдутся хотя бы три окружности из рассмотренных, пересекающиеся по двум точкам из данного множества. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. Найдите все такие пары натуральных чисел $(n,k)$, что число $(n+1)(n+2) \dots (n+k)-k$ является полным квадратом. ( Ильясов С., Овчинников Д. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №7. Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma$. Вписанная в треугольник окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. $\omega $ — окружность, вписанная в сегмент $BAC$ окружности $\Gamma$, и проходящая через точку $N$. Пусть точки $O$ и $J$ — центры окружностей $\omega $ и вневписанной окружности (касающейся стороны $BC$), соответственно. Докажите, что прямые $AO$ и $JN$ параллельны. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №8. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. Рассмотрим две окружности $\omega$ и $\Omega$, вписанные в угол $BAC$ таким образом, что $\omega$ касается внешним образом дуги $BOC$ окружности, описанной около треугольника $BOC$; а окружность $\Omega$ касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника $ABC$. Докажите, что радиус $\Omega$ вдвое больше радиуса $\omega$. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №9. Какое наибольшее число монет можно расставить в клетках таблицы $n \times n$ (в каждой клетке таблицы может находиться не более одной монеты) так, чтобы любая монета не была одновременно ниже и правее чем любая другая? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10. Первый ученик расставил числа $1$, $2$, $\ldots$, $2015$ по кругу и выписал в тетрадь неотрицательные разности всех пар соседних чисел. Второй ученик должен выбрать из этих разностей наименьшую. Ему интересно, какое самое большое число он может получить? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №11. Высоты $AA_1$ и $CC_1$, остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На высоте $AA_1$ отмечена точка $P$ такая, что $A_1P=AH$, на высоте $CC_1$, отмечена точка $Q$ такая, что $C_1Q=CH$. Докажите, что перпендикуляры к прямым $AA_1$ и $CC_1$, проходящие через точки $P$ и $Q$ соответственно, пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №12. Рассмотрим всевозможные наборы натуральных чисел $(x_1,x_2, \ldots,x_{100})$ такие, что $1 \le x_i \le 2017$ для каждого $i =1, 2, \ldots, 100$. Будем говорить, что набор $(y_1,y_2, \ldots,y_{100})$ больше набора $(z_1,z_2, \ldots,z_{100})$, если $y_i > z_i$ для каждого $i =1, 2, \ldots, 100$. Какое наибольшее число наборов можно выписать на доску так, чтобы никакой набор не был больше никакого другого? ( Ильясов С., Аманкельды А. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Дана функция $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такая, что для любых целых $x$ и $y$ выполнено $f\left( x-f\left( y \right) \right)-f\left( 2x-f\left( y \right) \right)=f{{\left( x \right)}^{2}}.$ Докажите, что для всех целых $x$ справедливо равенство $f\left( f\left( x \right) \right)=0$. Здесь $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №14. Дан выпуклый n-угольник $M$. Пусть $k$ – наименьшее число точек, которое можно отметить внутри $M$ так, чтобы внутри любого пятиугольника, вершины которого являются вершинами $M$, оказалось ровно 3 точки из отмеченных. Докажите, что $k\ge n-2$. («внутри» означает строго внутри, не на границе) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №15. Найдите все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, удовлетворяющие следующим условиям:
(a) существует бесконечно много попарно различных конечных множеств $S$ таких, что для любого $k\in S$, $f\left( k \right)$ также $\in S$;
(b) для любых различных $m,n\in \mathbb{N}.$
$m-n | f\left( m \right)-f\left( n \right)$. (Знак «|» означает делит; по другому, если $a|b$, то $b$ делится на $a$.) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №16. В правильном $n$-угольнике ($n\ge4$) каждая диагональ красится в один из двух цветов. Затем в каждой паре одноцветных пересекающихся диагоналей удаляют одну из этих диагоналей. Какое наибольшее число диагоналей могло остаться при таких операциях? (Диагонали, выходящие из одной вершины, пересекающимися не считаются.) ( Ильясов С. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №17. Множество $\Phi$ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из $\Phi$ по крайней мере $\sqrt{2}$. Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной $3$ можно накрыть все точки множества $\Phi$. Из какого наибольшего количества точек может состоять $\Phi$? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №18. Пусть $\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Найдите все функции $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ такие, что для любых $x, y\in\mathbb{Q}$ выполнено равенство $f(x+y)-f(y)=f(f(x-y)+f(y)).$ ( Ильясов С. )
комментарий/решение(5) олимпиада
Задача №19. Множество $\Phi$ состоит из конечного числа точек на плоскости. Расстояние между любыми двумя точками из $\Phi$ по крайней мере $\sqrt{2}$. Известно, что вырезанным из бумаги правильным треугольником со стороной $3$ можно накрыть все точки множества $\Phi$. Из какого наибольшего количества точек может состоять $\Phi$? ( Ильясов С. )
комментарий/решение(9) олимпиада
Задача №20. Касательная прямая $l$ к описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ пересекает прямые $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $C'$, $A'$ и $B'$ соответственно. Пусть $H$ ---ортоцентр треугольника $ABC$. На прямых $A'H$, $B'H$ и $C'H$ соответственно отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ (отличные от $H$) такие, что $AH=AA_1$, $BH=BB_1$ и $CH=CC_1$. Доказать, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, касаются. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №21. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB, BC, CA$ в точках $C_0, A_0, B_0$, соответственно. Пусть точка $M$ — середина отрезка, соединяющего вершину $C_0$ с точкой пересечения высот треугольника $A_0B_0C_0$, точка $N$ — середина дуги $ACB$ описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $MN$ проходит через центр вписанной окружности треугольника $ABC$. ( Ильясов С. )
комментарий/решение(7) олимпиада